DEFINISI TURUNAN FUNGSI
Turunan (diferensial) dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ (dibaca"f aksen"). Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $f(x)$ maka turunan pertama fungsi tersebut adalah $f'(x)$, didefinisikan $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'(x)$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan (diferentiable).
Selain bentuk $f'(x)$ (dibaca"f aksen x"), bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=f(x)$ adalah $y'$ atau $D_{x}f(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \left(f(x)\right)}{dx}$.
ATURAN TURUNAN FUNGSI
Dari definisi turunan fungsi di atas, diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi yang dapat digunakan pada turunan fungsi aljabar atau turunan fungsi trigonometri, antara lain:
- Jika $f(x)=k$ (k:konstanta) maka $f'(x)=0$
- Jika $f(x)=x$ maka $f'(x)=1$
- Jika $f(x)= kx^{n}$ maka $f'(x)=knx^{n-1}$
- Jika $f(x)= k \cdot u(x)$ maka $f'(x)=k \cdot u'(x)$
- Jika $f(x)=u(x)+v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) + v'(x)$
- Jika $f(x)=u(x) - v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) - v'(x)$
- Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$
- Jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
- Jika $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$
- Jika $f(x)= \left |u(x) \right | $ maka $f'(x)=\dfrac{u(x)}{\left | u(x) \right |} \cdot u'(x),\ \ u\neq 0 $
- Jika $f(x)= ln\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
- Jika $f(x)=e^{u(x)}$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot e^{u(x)}$
- Jika $f(x)=log_{a}u(x)$ maka $f'(x)= \dfrac{u'(x)}{ln\ a \cdot u(x)}$
- Jika $f(x)=a^{u(x)}$ maka $f'(x)=a^{u(x)} \cdot u'(x) \cdot ln\ a$
MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG
Jika kurva $y=f(x)$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'(x_{1})$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
- Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$
- Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$
NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUM FUNGSI
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Untuk memantapkan beberapa aturan dasar turunan fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan😊.
1. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*
Soal LengkapTurunan pertama fungsi $f(x)=\left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) $ adalah...
$\begin{align} (A)\ & f'(x)=12x^{2}-4x-24 \\ (B)\ & f'(x)=12x^{2}-8x+24 \\ (C)\ & f'(x)=24x-8 \\ (D)\ & f'(x)=12x^{2}-16x+24 \\ (E)\ & f'(x)=12x^{2}-8x-24 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan turunan pertama fungsi $f(x)=\left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) $, dapat kita kerjakan dengan dua alternatif
Pertama pakai aturan $f(x)=u \cdot v$ maka $f'(x)=u' \cdot v+u \cdot v'$ $\begin{align} f(x) & = \left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) \\ \hline u &= 4x^{2}-12x \rightarrow u'=8x-12 \\ v &= x+2 \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 8x-12 \right)\left( x+2 \right)+\left( 4x^{2}-12x \right)\left( 1 \right) \\ &= 8x^{2}+16x-12x-24 + 4x^{2}-12x \\ &= 12x^{2}-8x-24 \end{align}$
Kedua dengan menyederhanakan fungsi ke bentuk penjumlahan dan pengurangan.
$\begin{align} f(x) &= \left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) \\ &= 4x^{3}+8x^{2}-12x^{2}-24x \\ &= 4x^{3}-4x^{2}-24x \\ f'(x) &= 3 \cdot 4x^{3-1}-2 \cdot 4x^{2-1} -24 \\ &= 12x^{2}-8x -24 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ f'(x)=12x^{2}-8x-24$
2. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*
Soal LengkapDiketahui $f(x)=ax^{2}+2x+4$ dan $g(x)=x^{2}+ax-2$. Jika $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dengan $h'(0)=1$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal diketahui $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dan $h'(0)=1$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}+2x+4$ maka $f(0)=4$
$f'(x)=2ax+2$ maka $f'(0)=2$
untuk $g(x)=x^{2}+ax-2$ maka $g(0)=-2$
$g'(x)=2x+a$ maka $g'(0)=a$
$\begin{align} h(x) & = \dfrac{f(x)}{g(x)} \\ h'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\ h'(0) & = \dfrac{f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot g'(0)}{g^{2}(0)} \\ 1 & = \dfrac{(2) \cdot (-2) - (0) \cdot (a)}{(-2)^{2}} \\ 1 & = \dfrac{-4 - 4a}{4} \\ 4 & = -4 - 4a \\ 8 & = - 4a \\ a & = \dfrac {8}{-4} = -2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -2$
3. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*
Soal LengkapDiketahui $f(x)=ax^{2}-4x+1$ dan $g(x)=3x^{2}+ax+2$. Jika $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $k(x)=f(x)g(x)$ dengan $h'(0)=-3$, maka nilai $k'(0)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -7 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & 0 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal diketahui $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $h'(0)=-3$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}-4x+1$ maka $f(0)=1$
$f'(x)=2ax-4$ maka $f'(0)=-4$
untuk $g(x)=3x^{2}+ax+2$ maka $g(0)=2$
$g'(x)=6x+a$ maka $g'(0)=a$
$\begin{align} h(x) & = f(x)+g(x) \\ h'(x) & = f'(x)+g'(x) \\ h'(0) & = f'(0)+g'(0) \\ -3 & = -4+a \\ a & = -3+4=1 \end{align}$
$\begin{align} k(x) & = f(x)g(x) \\ k'(x) & = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ k'(0) & = f'(0)g(0)+f(0)g'(0) \\ & = (-4)(2)+(1)(1) \\ & = -8+1=-7 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -7$
4. Soal UMB 2008 Kode 270 |*
Soal LengkapJika $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}+1$, maka $f' \left( \dfrac{1}{2} \right)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -20 \\ (B)\ & -16 \\ (C)\ & -12 \\ (D)\ & -8 \\ (E)\ & -4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}+1 \\ &= x^{-2}-x^{-1}+1 \\ f'\left( x \right) &= -2x^{-2-1}-(-1)x^{-1-1}+0 \\ &= -2x^{-3}+x^{-2} \\ f'\left( \dfrac{1}{2} \right) &= -2\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-3}+\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-2} \\ &= -2\left( 2^{-1} \right)^{-3}+\left( 2^{-1} \right)^{-2} \\ &= -2\left( 2^{3} \right) +\left( 2^{2} \right) \\ &= -16 + 4 \\ &= -12 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -12 $
5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*
Soal LengkapDiketahui $g(x)=3-x$ dengan $f(x)=6x^{2}+3x-9$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, turunan pertama dari $h(x)$ adalah $h'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -6x^{2}+36x \\ (B)\ & -6x^{2}+36x+18 \\ (C)\ & -18x^{2}+30x+18\\ (D)\ & 18x^{2}+30x+18 \\ (E)\ & 18x^{2}-30x-18 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Turunan pertama dari $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ adalah:
$ \begin{align} h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ h'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\ & =(12x+3)(3-x)+(6x^{2}+3x-9)(-1) \\ & =36x+9-12x^{2}-3x-6x^{2}-3x+9 \\ & =-18x^{2}+30x+18 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -18x^{2}+30x+18$
6. Soal SPMB 2004 Regional I |*
Soal LengkapTurunan pertama dari fungsi $f(x)=\left( x-1 \right)^{2} \left( x+1 \right)$ adalah $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & x^{2}-2x+1 \\ (B)\ & x^{2}+2x+1 \\ (C)\ & 3x^{2}-2x-1 \\ (D)\ & 3x^{2}-2x+1 \\ (E)\ & 3x^{2}+2x+1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan turunan pertama fungsi $f(x)=\left( x-1 \right)^{2} \left( x+1 \right)$ kita kerjakan dengan aturan $f(x)=u \cdot v$ maka $f'(x)=u' \cdot v+u \cdot v'$
$\begin{align} f(x) &= \left( x-1 \right)^{2} \left( x+1 \right) \\ \hline u &= \left( x-1 \right)^{2} \rightarrow u'=2\left( x-1 \right) \\ v &= \left( x+1 \right) \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= 2\left( x-1 \right) \left( x+1 \right)^{2}+\left( x-1 \right)^{2}\left( 1 \right) \\ &= 2\left( x^{2}-1 \right) + x^{2}-2x+1 \\ &= 2x^{2}-2+x^{2}-2x+1 \\ &= 3x^{2}-2x-1 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3x^{2}-2x-1$
7. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*
Soal LengkapTurunan pertama dari $f(x)=\dfrac{x^{2}-7}{x\sqrt{x}}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{x^{2}+21}{2x^{2}\sqrt{x}} \\ (B)\ & \dfrac{x^{2}+21}{x^{2}\sqrt{x}} \\ (C)\ & \dfrac{x^{2}-21}{2x^{2}\sqrt{x}} \\ (D)\ & \dfrac{x^{2}}{x^{2}\sqrt{x}+21} \\ (E)\ & \dfrac{x^{2}+21}{2x\sqrt{x}} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan turunan pertama fungsi $f(x)$ di atas kita kerjakan dengan aturan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{x^{2}-7}{x\sqrt{x}} \\ &= \dfrac{x^{2}-7}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \\ &= \dfrac{x^{2}-7}{x^{\frac{3}{2}}} \\ \hline u &= x^{2}-7 \rightarrow u'=2x \\ v &= x^{\frac{3}{2}} \rightarrow v'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \\ \hline f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{2x \cdot x^{\frac{3}{2}}- \left( x^{2}-7 \right) \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} }{\left( x^{\frac{3}{2}} \right)^{2}} \\ &= \dfrac{2x^{\frac{5}{2}}- \frac{3}{2}x^{\frac{5}{2}}+\frac{21}{2}x^{\frac{1}{2}} }{x^{3}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{2}x^{\frac{5}{2}}+\frac{21}{2}x^{\frac{1}{2}} }{x^{3}} \\ &= \dfrac{\left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} \right )\left (x^{2}+ 21 \right )}{x^{3}} \\ &= \dfrac{\left (x^{2}+ 21 \right )}{2x^{\frac{5}{2}}} \\ &= \dfrac{\left (x^{2}+ 21 \right )}{2x^{2} \sqrt{x}} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{x^{2}+21}{2x^{2}\sqrt{x}}$
8. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*
Soal LengkapTurunan pertama dari $h(x)=(-x+1)^{3}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & h'(x)=-3x^{2}+6x-3 \\ (B)\ & h'(x)=-3x^{2}-6x+3 \\ (C)\ & h'(x)=3x^{2}+6x-3 \\ (D)\ & h'(x)=3x^{2}+3x-6 \\ (E)\ & h'(x)=-3x^{2}-6x+3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Turunan pertama dari $h(x)= \left[ f(x) \right]^{n}$ adalah $h'(x)= n \cdot \left[ f(x) \right]^{n-1} \cdot f'(x)$.
$ \begin{align} h(x) & = (-x+1)^{3} \\ h'(x) & = 3(-x+1)^{3-1} (-1) \\ & = -3(-x+1)^{2}\\ & = -3(x^{2}-2x+1)\\ & = -3x^{2}+6x-3 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3x^{2}+6x-3$
9. Soal SNMPTN 2007 Kode 541 |*
Soal LengkapTurunan pertama fungsi $y=\dfrac{2}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{3}}}$ adalah $y'=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-3}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{5}}} \\ (B)\ & \dfrac{-18x}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{5}}} \\ (C)\ & \dfrac{-3}{\sqrt{ 3x^{2}+5}} \\ (D)\ & \dfrac{-18x}{\sqrt{ 3x^{2}+5 }} \\ (E)\ & \dfrac{18x}{\sqrt{ 3x^{2}+5 }} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan turunan pertama fungsi $y$ di atas kita kerjakan dengan aturan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
$\begin{align} y &= \dfrac{2}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{3}}} \\ &= \dfrac{2}{ \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{3}{2}}} \\ \hline u &= 2 \rightarrow u'=0 \\ v &= \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{3}{2}} \\ v' &= \frac{3}{2} \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{1}{2}}\left( 6x \right)= 9x \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \hline f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{0 \cdot \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{3}{2}}- \left( 2 \right) \cdot 9x \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{1}{2}}}{\left (\left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{3}{2}} \right )^{2}} \\ &= \dfrac{ - 18x \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{1}{2}}}{\left ( 3x^{2}+5 \right)^{3}} \\ &= \dfrac{ - 18x}{\left ( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{5}{2}}} \\ &= \dfrac{ - 18x}{\sqrt{\left(3x^{2}+5 \right)^{5}}} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-18x}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{5}}} $
10. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 |*
Soal LengkapDiketahui $f(0)=1$ dan $f'(0)=2$. Jika $g(x)=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}}$ maka $g'(0)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -12 \\ (B)\ & -6 \\ (C)\ & -6 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 12 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} g(x) &=\dfrac{u}{v} \\ g'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ g (x) &=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}} \\ g'(x) &=\dfrac{0-1 \cdot 3\left( 2f(x)-1 \right)^{3-1} \cdot 2f'(x) }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-6f'(x) \cdot \left( 2f(x)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\ g'(0) &=\dfrac{-6f'(0) \cdot \left( 2f(0)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(0)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-6 (2) \cdot \left( 2 (1)-1 \right)^{2} }{\left( 2 (1)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-12 }{1}=-12 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12$
11. Soal SNMPTN 2008 Kode 301 |*
Soal LengkapJika $f(x)=\dfrac{bx-a}{x+b}$, memenuhi $f \left( 1 \right)=1$ dan $f' \left( 1 \right)=2$, maka $f \left( 2 \right)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -21 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari $f \left( 1 \right)=1$ kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &=\dfrac{bx-a}{x+b} \\ f(1) &=\dfrac{b(1)-a}{1+b} \\ 1 &=\dfrac{b-a}{1+b} \\ 1+b &= b-a \\ -1 &= a \end{align}$
Dengan bantuan aturan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$ kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{bx-a}{x+b} \\ &= \dfrac{bx+1}{x+b} \\ \hline u &= bx+1 \rightarrow u'=b \\ v &= x+b \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{b \cdot \left( x+b \right)- \left( bx+1 \right) \cdot 1 }{\left( x+b \right)^{2}} \\ &= \dfrac{bx +b^{2} - bx-1 }{\left( x+b \right)^{2}} \\ &= \dfrac{b^{2}-1 }{\left( x+b \right)^{2}} \\ f'(1) &= \dfrac{b^{2}-1 }{\left( 1+b \right)^{2}} \\ 2 &= \dfrac{b^{2}-1 }{\left( 1+b \right)^{2}} \\ 2 &= \dfrac{\left( b -1 \right)\left( b +1 \right) }{\left( 1+b \right)^{2}} \\ 2 &= \dfrac{\left( b -1 \right) }{\left( 1+b \right) } \\ 2b+2 &= b -1 \\ b &= -3 \end{align}$
Untuk $a=-1$ dan $b=-3$ kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &=\dfrac{bx-a}{x+b} \\ &=\dfrac{-3x+1}{x-3} \\ f(2) &=\dfrac{-3(2)+1}{2-3} \\ &=\dfrac{-5}{-1}=5 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5 $
12. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*
Soal LengkapJika $f(x)= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1}$ dengan $f(0)=f'(0)$ dan $f'(-1)=1$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan aturan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1} \\ \hline u &= ax+b \rightarrow u'=a \\ v &= x^{2}+1 \rightarrow v'=2x \\ \hline f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &\dfrac{a \cdot \left( x^{2}+1 \right) -(ax+b) \cdot 2x }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ &=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ \hline f'(0) &=\dfrac{a(0)^{2}+a -2a(0)^{2}-2b(0) }{\left( (0)^{2}+1 \right)^{2}} \\ &=\dfrac{ a }{1}=a \\ \hline f'(-1) &=\dfrac{a(-1)^{2}+a -2a(-1)^{2}-2b(-1) }{\left( (-1)^{2}+1 \right)^{2}} \\ 1 &=\dfrac{a +a -2a +2b}{4} \\ 4 &= 2b \\ 2 &= b \end{align}$
Untuk $b=2$ dan $f(0)=f'(0)=a$ kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1} \\ f(0) &= \dfrac{a(0)+2}{(0)^{2}+1} \\ a &= \dfrac{2}{1} \\ a &= 2 \\ \hline a+b &= 2+2 =4 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4 $
13. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 |*
Soal LengkapJika $m$ dan $n$ bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^{3}+2x^{2}-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= mx^{3}+2x^{2}-nx+5 \\ f'(x) &= 3mx^{2}+4x -n \\ f'(1) &= 3m(1)^{2}+4(1) -n \\ 0 &= 3m +4-n \ \ \cdots(1)\\ f'(-5) &= 3m(-5)^{2}+4(-5) -n \\ 0 &= 75m-20-n \cdots(2)\\ \end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc} 3m+4-n = 0 & \\ 75m-20-n = 0 & (-)\\ \hline -72m = 24 \\ m = \dfrac{24}{-72}=-\dfrac{1}{3} \\ n = 3\\ \hline 3m-n =3 \left( -\dfrac{1}{3} \right) - 3 \\ 3m-n =-1-3=-4 \end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4$
14. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 |*
Soal LengkapJika $f$ dan $g$ adalah fungsi yang dapat diturunkan di $R$ sehingga $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) \left(g(x)-g(x+h) \right)}{k^{2}h}=\dfrac{x-1}{k}$ dan $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x) \left(f(x)-f(x+h) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h}=\dfrac{x-1}{k+1}$ untuk $k \gt 0$, maka...
$\begin{align} (1)\ & \left(fg \right)'(0)=2k-1 \\ (2)\ & \left(fg \right)'(c)=(2k-1)(c-1) \\ (3)\ & \left(fg \right)'(x+1)=(1-2k)x \\ (4)\ & \left(fg \right)'\left(x^{2} \right)=(2k-1)(x^{2}-1) \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) \left(g(x)-g(x+h) \right)}{k^{2}h} &= \dfrac{x-1}{k} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-f(x+h) \left(g(x+h)-g(x) \right)}{k^{2}h} &= \dfrac{x-1}{k} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-f(x+h)}{k^{2}} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} &= \dfrac{x-1}{k} \\ \dfrac{-f(x+0)}{k^{2}} \cdot g'(x) &= \dfrac{x-1}{k} \\ \dfrac{-f(x)}{k^{2}} \cdot g'(x) &= \dfrac{x-1}{k} \\ -f(x) \cdot g'(x) &= k^{2} \cdot \dfrac{x-1}{k} \\ f(x) \cdot g'(x) &= -k \cdot (x-1) \end{align}$
$\begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x) \left(f(x)-f(x+h) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-g(x) \left(f(x+h)-f(x) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-g(x)}{\left( k^{2}-1 \right)} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ \dfrac{-g(x)}{\left( k^{2}-1 \right) } \cdot f'(x) &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ -g(x) \cdot f'(x) &= \left( k^{2}-1 \right) \cdot \dfrac{x-1}{k+1} \\ g(x) \cdot f'(x) &= -\left( k-1 \right)\left( x-1 \right) \end{align}$
Pernyataan $(1)$
$\begin{align} \left(fg \right)'(0) &= f'(0) \cdot g(0) +f(0) \cdot g'(0) \\ &= -(0-1) \cdot (k-1) -(0-1)k \\ &= k-1 +k \\ &= 2k-1 \end{align}$
Pernyataan $(2)$
$\begin{align} \left(fg \right)'(c) &= f'(c) \cdot g(c) +f(c) \cdot g'(c) \\ &= -(c-1) \cdot (k-1) -(c-1)k \\ &= -(c-1) \cdot (k-1+k) \\ &= -(c-1) \cdot (2k-1) \end{align}$
Pernyataan $(3)$
$\begin{align} \left(fg \right)'(x+1) &= f'(x+1) \cdot g(x+1) +f(x+1) \cdot g'(x+1) \\ &= -(x+1-1) \cdot (k-1) -(x+1-1)k \\ &= -x \cdot (k-1) -(x)k \\ &= -x \cdot (k-1+k) \\ &= -x \cdot (2k-1) \\ &= x \cdot (1-2k) \\ \end{align}$
Pernyataan $(4)$
$\begin{align} \left( fg \right)' \left( x^{2} \right) &= f'\left( x^{2} \right) \cdot g\left( x^{2} \right) +f\left( x^{2} \right) \cdot g'\left( x^{2} \right) \\ &= -\left( x^{2}-1 \right) \cdot \left( k-1 \right) - \left( x^{2}-1 \right) \cdot k \\ &= -\left( x^{2}-1 \right) \left( k-1+k \right) \\ &= -\left( x^{2}-1 \right) \left( 2k-1 \right) \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$
15. Soal SIMAK UI 2011 Kode 212 |*
Soal LengkapDiketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f'(2)=3$ dan $g'(2)=4$. Jika pada saat $x=2$, turunan dari $\left(f \cdot g \right)(x)$ adalah $11$ dan turunan dari $\left(f^{2}+g^{2} \right)(x)$ adalah $20$, maka turunan dari $\left( \dfrac{f}{g} \right)(x)$ saat $x=2$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & \dfrac{3}{4} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa, jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$. Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa pada saat $x=2$ turunan dari $\left(f \cdot g \right)(x)$ adalah $11$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \left(f \cdot g \right)'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\ \left(f \cdot g \right)'(2) & = f'(2) \cdot g(2)+f(2) \cdot g'(2) \\ 11 & = 3 \cdot g(2)+f(2) \cdot 4 \\ 11 & = 3g(2)+4f(2) \end{align}$
Kita ketahui bahwa, jika $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$. Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa pada saat $x=2$ turunan dari $\left(f^{2}+g^{2} \right)(x)$ adalah $20$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \left(f^{2}+g^{2} \right)'(x) & = 2f(x) \cdot f'(x)+2g(x) \cdot g'(x) \\ \left(f^{2}+g^{2} \right)'(2) & = 2f(2) \cdot f'(2)+2g(2) \cdot g'(2) \\ 20 & = 2f(2) \cdot 3+2g(2) \cdot 4 \\ 20 & = 6f(2) +8g(2) \\ 10 & = 3f(2) +4g(2) \end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc} 3f(2) +4g(2) = 10 & \times 4 \\ 4f(2)+3g(2) = 11 & \times 3 \\ \hline 12f(2) + 16g(2) = 40 & \\ 12f(2)+9g(2) = 33 & (-)\\ \hline 7g(2) = 7 & \\ g(2) = 1 & \\ \hline 10 = 3f(2) +4g(2) & \\ 10 = 3f(2) +4(1) & \\ f(2) = 2 \end{array} $
Untuk $g(2) = 1$ dan $f(2) = 2$ maka kita peroleh:
$\begin{align} \left( \dfrac{f}{g} \right)'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\ \left( \dfrac{f}{g} \right)'(2) & = \dfrac{f'(2) \cdot g(2)-f(2) \cdot g'(2)}{g^{2}(2)} \\ & = \dfrac{3 \cdot 1-2 \cdot 4}{1^{2}} \\ & = \dfrac{3 - 8}{1} \\ & = -5 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -5$
16. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 |*
Soal LengkapMisalkan fungsi $f:R \rightarrow R$ didefinisikan dengan $f \left( 2x-3 \right)=4x^{2}+2x-5$ dan $f'$ adalah turunan pertama dari $f$. Hasil dari $f' \left( 2x-3 \right)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2x-7 \\ (B)\ & 2x-1 \\ (C)\ & 2x+7 \\ (D)\ & 4x+1 \\ (E)\ & 8x+2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada fungsi $f \left( 2x-3 \right)=4x^{2}+2x-5$ ruas kiri dan kanan kita turunkan terhadap $x$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \dfrac{d}{dx} \left( f \left( 2x-3 \right) \right) & = \dfrac{d}{dx}\left( 4x^{2}+2x-5 \right) \\ f' \left( 2x-3 \right) \cdot 2 & =8x +2 \\ f' \left( 2x-3 \right) & = \dfrac{8x+2}{2} \\ & = 4x+1 \\ \end{align}$
Dengan cara lain sewaktu belajar komposisi fungsi, turunan fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan cara pada fungsi $f \left( 2x-3 \right)=4x^{2}+2x-5$ menggunakan manipulasi aljabar kita usahakan variabelnya menjadi $\left( 2x-3 \right)$.
$\begin{align} f \left( 2x-3 \right) & = 4x^{2}+2x-5 \\ & = \left( 2x-3 \right)^{2}+12x-9+2x-5 \\ & = \left( 2x-3 \right)^{2}+14x-14 \\ & = \left( 2x-3 \right)^{2}+7\left( 2x-3 \right)+21-14 \\ & = \left( 2x-3 \right)^{2}+7\left( 2x-3 \right)+7 \\ f' \left( 2x-3 \right) & = 2\left( 2x-3 \right) +7 \\ & = 4x-6 +7 \\ & = 4x+1 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4x+1$
17. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*
Soal LengkapFungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval...
$\begin{align} (A)\ & 1 \lt x \lt 3 \\ (B)\ & -1 \lt x \lt 3 \\ (C)\ & -3 \lt x \lt 1 \\ (D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1 \\ (E)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi akan turun adalah turunan pertama kurang dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=3x^2+6x-9$
$ \begin{align} f'(x) & \lt 0 \\ 3x^2+6x-9 & \lt 0 \\ x^2+2x-3 & \lt 0 \\ (x+3)(x-1) & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} & \\ x =-3\ \text{atau}\ x =1 & \end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval $-3 \lt x \lt 1$
Warning!
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 1$
18. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*
Soal LengkapGrafik fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik untuk $x$ yang memenuhi...
$(A)\ 4 \lt x \lt 5$
$(B)\ -4 \lt x \lt 5$
$(C)\ x \lt -5\ \text{atau}\ x \gt 4$
$(D)\ x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 5$
$(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu grafik fungsi akan naik adalah turunan pertama lebih dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=6x^{2}-6x -120$
$ \begin{align} f'(x) & \gt 0 \\ 6x^{2}-6x -120 & \gt 0 \\ x^{2}-x -20 & \gt 0 \\ (x-5)(x+4) & \gt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} \\ x =5\ \text{atau}\ x =-4 & \end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik pada interval $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
Warning!
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
19. Soal SPMB 2004 Regional III |*
Soal LengkapGrafik fungsi $f(x)=\dfrac{1}{6}x^{3}-3x^{2}$ naik untuk nilai $x$ yang memenuhi...
$\begin{align} (A)\ & 1 \lt x \lt 6 \\ (B)\ & 0 \lt x \lt 12 \\ (C)\ & -6 \lt x \lt 6 \\ (D)\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 12 \\ (E)\ & x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu grafik fungsi $f(x)$ akan naik adalah saat $f'(x) \gt 0$
$ \begin{align} f(x) &= \dfrac{1}{6}x^{3}-3x^{2} \\ f'(x) &= \dfrac{1}{2}x^{2}-6x \\ \hline f'(x) & \gt 0 \\ \dfrac{1}{2}x^{2}-6x & \gt 0 \\ x^{2}-12x & \gt 0 \\ (x)(x-12) & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} & \\ x =0\ \text{atau}\ x =12 & \end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=\dfrac{1}{6}x^{3}-3x^{2}$ naik pada interval $x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 12$
Warning!
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 12$
20. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*
Soal LengkapGrafik $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+7$ turun untuk $x$ yang memenuhi...
$\begin{align} (A)\ & x \lt 2 \\ (B)\ & -1 \lt x \lt 2 \\ (C)\ & -3 \lt x \lt -1 \\ (D)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\ (E)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan turun adalah saat $f'(x) \lt 0$
$ \begin{align} f(x) &= 2x^{3}-3x^{2}-12x+7 \\ f'(x) &= 6x^{2}-6x -12 \\ \hline f'(x) & \lt 0 \\ 6x^{2}-6x -12 & \lt 0 \\ x^{2}- x -2 & \lt 0 \\ (x-2)(x+1) & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} & \\ x =2\ \text{atau}\ & x =-1 \end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+7$ turun pada interval $-1 \lt x \lt 2$
Warning!
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1 \lt x \lt 2$
21. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*
Soal LengkapJika diberikan fungsi $f$ dengan rumus $f(x)=x\sqrt{x+1}$ maka daerah dengan fungsi $f$ naik adalah...
$\begin{align} (A)\ & -1 \leq x \leq -\dfrac{2}{3} \\ (B)\ & x \leq - 1 \\ (C)\ & -1 \leq x \lt -\dfrac{2}{3} \\ (D)\ & x \gt -\dfrac{2}{3} \\ (E)\ & x \gt \dfrac{2}{3} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan naik adalah saat $f'(x) \gt 0$
$ \begin{align} f(x) &= x\sqrt{x+1} \\ &= x \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \hline u &= x \rightarrow u'= 1\\ v &= \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} \rightarrow v'=\dfrac{1}{2}\left(x+1 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ \hline f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 1 \right)\left( \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} \right)+\left( x \right)\left(\dfrac{1}{2} \left(x+1 \right)^{-\frac{1}{2}} \right) \\ &= \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} + \dfrac{x}{2} \left(x+1 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ &= \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} + \dfrac{x}{2\left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ &= \dfrac{2 \left(x+1 \right)+x}{2\left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ &= \dfrac{3x+2}{2\left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ \hline f'(x) & \gt 0 \\ \dfrac{3x+2}{2\left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}}} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} & \gt 0 \\ \end{align} $
Untuk setiap $x$ bilangan real, hasil dari $2\sqrt{x+1}$ adalah bilangan real positif, sehingga agar $\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} \gt 0$ atau $\dfrac{3x+2}{(+)} \gt 0$ maka $3x+2$ harus bilangan real postif. Dapat kita tuliskan $3x+2 \gt 0$ atau $ x \gt -\dfrac{2}{3}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \gt -\dfrac{2}{3}$
22. Soal SPMB 2004 Regional I |*
Soal LengkapFungsi $f(x)=\dfrac{x^{2}+3}{x-1}$ turun untuk nilai $x$ yang memenuhi...
$\begin{align} (A)\ & -3 \lt x \lt 1 \\ (B)\ & -3 \lt x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 1 \\ (C)\ & -1 \lt x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 3 \\ (D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1 \\ (E)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan turun adalah saat $f'(x) \lt 0$
$ \begin{align} f(x) &= \dfrac{x^{2}+3}{x-1} \\ \hline u &= x^{2}+3 \rightarrow u'=2x \\ v &= x-1 \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{\left( 2x \right) \cdot \left( x-1 \right)- \left( x^{2}+3 \right) \cdot \left( 1 \right) }{\left( x-1 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{ 2x^{2}-2x - x^{2}-3 }{\left( x-1 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{ x^{2}-2x -3 }{\left( x-1 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) }{\left( x-1 \right)^{2}} \\ \hline f'(x) & \lt 0 \\ \dfrac{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) }{\left( x-1 \right)^{2}} & \lt 0 \end{align} $
Untuk mendapatkan nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan kita lakukan uji titik dengan batasan nilai $x$, pembuat nol pada pembilang dan pembuat nol pada penyebut yaitu $x=-1$, $x=1$ dan $x=3$
Dari hasil di atas kita peroleh $\dfrac{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) }{\left( x-1 \right)^{2}} \lt 0$ saat $-1 \lt x \lt 1$ atau $1 \lt x \lt 3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1 \lt x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 3$
23. Soal SPMB 2004 Regional III |*
Soal LengkapFungsi $f(x)=4x^{3}-9x^{2}-12x+1$ turun untuk nilai $x$ yang memenuhi...
$\begin{align} (A)\ & x \lt -2 \\ (B)\ & -2 \lt x \lt \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & -2 \lt x \lt 2 \\ (D)\ & x \gt 2 \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2} \lt x \lt 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan turun adalah saat $f'(x) \lt 0$
$ \begin{align} f(x) &= 4x^{3}-9x^{2}-12x+1 \\ f'(x) &= 12x^{2}-18x -12 \\ \hline f'(x) & \lt 0 \\ 12x^{2}-18x -12 & \lt 0 \\ 2x^{2}-3x-2 & \lt 0 \\ (2x+1)(x-2) & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} & \\ x =-\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x =2 & \end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=4x^{3}-9x^{2}-12x+1$ turun pada interval $-\dfrac{1}{2} \lt x \lt 2$
Warning!
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{2} \lt x \lt 2$
24. Soal SPMB 2006 Kode 310 |*
Soal LengkapGrafik $y=2x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}-6x+5$ naik untuk $x$ yang memenuhi...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{2} \lt x \lt \dfrac{5}{2} \\ (B)\ & -\dfrac{3}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{2} \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \lt x \lt \dfrac{5}{2} \\ (D)\ & x \lt -\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{3}{2} \\ (E)\ & x \lt -\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{5}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu grafik fungsi $f(x)$ akan naik adalah saat $f'(x) \gt 0$
$ \begin{align} f(x) &= 2x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}-6x+5 \\ f'(x) &= 6x^{2}-5x-6 \\ \hline f'(x) & \gt 0 \\ 6x^{2}-5x-6 & \gt 0 \\ \left(2x-3 \right) \left(3x+2 \right) & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} & \\ x =\dfrac{3}{2}\ \text{atau}\ x =-\dfrac{2}{3} & \end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}-6x+5$ naik pada interval $x \lt -\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{3}{2}$
Warning!
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \lt -\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{3}{2}$
25. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*
Soal LengkapGrafik fungsi $f(x)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5$ naik pada interval...
$\begin{align} (A)\ & -2 \lt x \lt 3 \\ (B)\ & -3 \lt x \lt 2 \\ (C)\ & x \lt 2\ \text{atau}\ x \gt 3 \\ (D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 2 \\ (E)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan interval nilai $x$ agar fungsi $f(x)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5$ naik kita cukup menentukan interval niLai $x$ yang memenuhi saat $f'(x) \gt 0$.
$\begin{align} f(x) = & x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5 \\ f'(x)= & 3x^{3-1}-2 \cdot \frac{3}{2}x^{2-1} -18 \\ f'(x)= & 3x^{2}-3x -18 \\ \hline
f'(x) & \gt 0 \\ 3x^{2}-3x -18 & \gt 0 \\ 3(x^{2}- x -6) & \gt 0 \\ 3(x-3)(x+2) & \gt 0 \\ \end{align}$
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3$
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3$
26. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 |*
Soal LengkapJika kurva $y= \left(x^{2}-a \right)\left( 2x+b \right)^{3}$ turun pada interval $-1 \lt x \lt \dfrac{2}{5}$, maka nilai $ab=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan turunan pertama kita pakai pakai aturan $y=u \cdot v$ maka $y'=u' \cdot v+u \cdot v'$
$\begin{align} y & = \left(x^{2}-a \right)\left( 2x+b \right)^{3} \\ \hline u &= \left(x^{2}-a \right) \rightarrow u'=2x \\ v &= \left( 2x+b \right)^{3} \rightarrow v'=6\left( 2x+b \right)^{2} \\ \hline y' &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 2x \right) \cdot \left( 2x+b \right)^{3}+\left(x^{2}-a \right) \cdot 6\left( 2x+b \right)^{2} \\ &= \left( 2x+b \right)^{2} \left[ 2x \cdot \left( 2x+b \right) +6 \left(x^{2}-a \right) \right] \\ &= \left( 2x+b \right)^{2} \left( 4x^{2}+2bx+6x^{2}-6a \right) \\ &= \left( 2x+b \right)^{2} \left( 10x^{2}+2bx-6a \right) \end{align}$
Dikatakan pada soal bahwa kurva turun sehingga berlaku:
$\begin{align} y' & \lt 0 \\ \left( 2x+b \right)^{2} \left( 10x^{2}+2bx-6a \right) & \lt 0 \\ 2\left( 2x+b \right)^{2} \left( 5x^{2}+ bx-3a \right) & \lt 0 \end{align}$
Kita ketahui bahwa $2\left( 2x+b \right)^{2} \geq 0$, maka dari pertidaksamaan di atas berlaku $\left( 5x^{2}+ bx-3a \right) \lt 0$.
Himpunan penyelesaian dari $\left( 5x^{2}+ bx-3a \right) \lt 0$ adalah $-1 \lt x \lt \dfrac{2}{5}$, sehingga berlaku $x \lt \frac{2}{5} \rightarrow (5x-2) \lt 0$ dan $x \lt -1 \rightarrow (x+1) \gt 0$.
Untuk $(5x-2) \lt 0$ dan $(x+1) \gt 0$ maka berlaku:
$\begin{align} \left( 5x-2 \right) \left( x+1 \right) & \lt 0 \\ 5x^{2}+5x-2x-2 & \lt 0 \\ 5x^{2}+3x-2 & \lt 0 \\ \hline 5x^{2}+ bx-3a & \lt 0 \\ \hline b=3\ \text{dan}\ a=\frac{2}{3} & \\ ab & = \frac{2}{3} \cdot 3 \\ & = 2 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
27. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 |*
Soal LengkapSyarat agar fungsi $f(x)=-x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8$ selalu turun untuk semua nilai real $x$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & a \lt -5\ \text{atau}\ a \gt 7 \\ (B)\ & a \lt 0\ \text{atau}\ a \gt 4 \\ (C)\ & -5\ \lt a \lt 7 \\ (D)\ & -7\ \lt a \lt 5 \\ (E)\ & -7\ \lt a \lt 0\ \text{atau}\ 4\ \lt a \lt 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Agar sebuh fungsi $f(x)$ selalu turun maka $f'(x) \lt 0$
$\begin{align} f(x) &= -x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8 \\ f'(x) &= -3x^{2}+ ax -x-3
\end{align}$
Agar $f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$ dan agar $f(x)$ selalu turun maka $f'(x)=-3x^{2}+ (a-1)x-3$ selalu kurang dari nol atau dengan kata lain $f'(x)$ adalah definit negatif. Syarat sebuah fungsi $f(x)=px^{2}+qx+r$ definit negatif adalah:
- Koefisien $x^{2}$ bernilai negatif atau $p \lt 0$ sudah memenuhi karena $p=-3$
- Diskriminan $D=b^{2}-4ac$ kurang dari nol,
$\begin{align} q^{2}-4pr & \lt 0 \\ (a-1)^{2}-4(-3)(-3) & \lt 0 \\ a^{2}-2a+1-36 & \lt 0 \\ a^{2}-2a -35 & \lt 0 \\ (a-7)(a+5) & \lt 0 \end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas pembuat nol adalah $a=-5$ atau $a=7$, sehingga dengan Cara Kreatif Menentukan HP pertidaksmaan kuadrat kita peroleh $-5\ \lt a \lt 7$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -5\ \lt a \lt 7$
28. Soal UM UGM 2005 Kode 621 |*
Soal LengkapBatasan nilai $p$ agar fungsi $f(x)=-\dfrac{1}{3}x^{3}+px^{2}+2px+5$ selalu turun untuk semua nilai $x$ bilangan real adalah...
$\begin{align} (A)\ & p \lt 2\ \text{atau}\ p \gt 0 \\ (B)\ & -2 \leq p \leq 0 \\ (C)\ & -2 \lt p \lt 0 \\ (D)\ & -2 \leq p \lt 0 \\ (E)\ & -2 \lt p \leq 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan turun adalah saat $f'(x) \lt 0$
$ \begin{align} f(x) &= -\dfrac{1}{3}x^{3}+px^{2}+2px+5\\ f'(x) &= -x^{2}+2px +2p \end{align} $
Agar $f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$ dan agar $f(x)$ selalu turun maka $f'(x)=-x^{2}+2px +2p$ selalu kurang dari nol atau dengan kata lain $f'(x)$ adalah definit negatif. Syarat sebuah fungsi $f(x)=ax^{2}+bx+c$ definit negatif adalah:
- Koefisien $x^{2}$ bernilai negatif atau $a \lt 0$ sudah memenuhi karena $a=-1$
- Diskriminan $D=b^{2}-4ac$ kurang dari nol,
$\begin{align} b^{2}-4ac & \lt 0 \\ (2p)^{2}-4(-1)(2p) & \lt 0 \\ 4p^{2}+8p & \lt 0 \\ p^{2}+2p & \lt 0 \\ (p)(p+2) & \lt 0 \end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas pembuat nol adalah $p=0$ atau $p=-2$, sehingga dengan Cara Kreatif Menentukan HP pertidaksmaan kuadrat kita peroleh $-2\ \lt p \lt 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -2 \lt p \lt 0$
29. Soal SPMB 2005 Regional I |*
Soal LengkapPada selang $-1 \leq x \leq 2$, fungsi $y=x^{3}-3x^{2}+3$ mempunyai nilai maksimum...
$\begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align} f(x) & = x^{3}-3x^{2}+3 \\ f'(x) & = 3x^{2}-6x \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 3x^{2}-6x \\ 0 & = x^{2}-2x \\ 0 & = \left( x \right) \left( x-2 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =0\ \text{atau}\ x =2 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=0$ atau $x=2$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 3x^{2}-6x \\ f''(x) & = 6x -6 \\ \hline f''(0) & = 6(0)-6=-6 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(0) \\ f''(2) & = 6(2)-6=6 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(2) \\ \end{align}$
Nilai maksimum $f(0)$ dan Nilai minimum $f(2)$
$\begin{align} f(x) & = x^{3}-3x^{2}+3 \\ f(0) & = (0)^{3}-3(0)^{2}+3 \\ & = 0 -0 +3 = 3 \\ \hline f(2) & = (2)^{3}-3(2)^{2}+3 \\ & = 8 - 12 +3 = -1 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 3$
30. Soal SPMB 2005 Regional II |*
Soal LengkapPada selang $0 \leq x \leq 4$, jarak terjauh dari kurva $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$ dengan sumbu $x$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 16 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align} f(x) & = x^{3}-6x^{2}+9x \\ f'(x) & = 3x^{2}-12x+9 \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 3x^{2}-12x+9 \\ 0 & = x^{2}-4x+3 \\ 0 & = \left( x-3 \right) \left( x-1 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =3\ \text{atau}\ x =1 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=1$ atau $x=3$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 3x^{2}-12x+9 \\ f''(x) & = 6x -12 \\ \hline f''(1) & = 6(1)-12=-6 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(1) \\ f''(3) & = 6(3)-12=6 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(3) \\ \end{align}$
Nilai maksimum $f(1)$ dan Nilai minimum $f(3)$
$\begin{align} f(x) & = x^{3}-6x^{2}+9x \\ f(1) & = (1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \\ & = 1 -6 +9 = 4 \\ \hline f(3) & = (3)^{3}-6(3)^{2}+9(3) \\ & = 27 - 54 + 27 = 0 \end{align}$
Pada selang $0 \leq x \leq 4$ jarak terjauh kurva sama dengan nilai maksimum atau nilai minimum. Pada kasus ini nilai minimum adalah $0$ dan nilai maksimum adalah $4$, sehingga jaraka terjauh kurva terhadap sumbu $x$ adalah $4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4$
31. Soal UM STIS 2011 |*
Soal LengkapJika fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x$ dalam interval $-4 \leq x \leq -1$ mempunyai nilai maksimum $a$ dan minimum $b$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 38 \\ (B)\ & 35 \\ (C)\ & 27 \\ (D)\ & 22 \\ (E)\ & 20
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align} f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\ f'(x) & = 3x^{2}+6x -9 \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 3x^{2}+6x -9 \\ 0 & = x^{2}+2x -3 \\ 0 & = \left( x+3 \right) \left( x-1 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =-3\ \text{atau}\ x =1 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=-3$ atau $x=1$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 3x^{2}+6x -9 \\ f''(x) & = 6x +6 \\ \hline f''(-3) & = 6(-3)+6=-12 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(-3) \\ f''(1) & = 6(1)+6=12 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(1) \\ \end{align}$
Nilai maksimum $f(-3)$ dan Nilai minimum $f(1)$
$\begin{align} f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\ f(-3) & = (-3)^{3}+3(-3)^{2}-9(-3) \\ & = -27 +27 + 27 = 27 \\ \hline f(1) & = (1)^{3}+3(1)^{2}-9(1) \\ & = 1 +3- 9 = -5 \end{align}$
Untuk rentang $-4 \leq x \leq -1$ nilai minimum $f(x)$ adalah saat $x=-1$ karena $f(x)$ turun di $-3 \lt x \lt 1$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\ f(-1) & = (-1)^{3}+3(-1)^{2}-9(-1) \\ & = -1+3+9=11 \end{align}$
Dengan nilai maksimum $27$ maka $a=27$ dan nilai minimum $11$ maka $b=11$. Kita peroleh nilai $a+b=27+11=38$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 38$
32. Soal SPMB 2005 Regional II |*
Soal LengkapJika fungsi $f(x)=x \left( 12-2x \right)^{2}$ mempunyai nilai maksimum $p$ dan nilai minimum $q$, maka $p-q=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 8\sqrt{2} \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 128
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align} f(x) & = x \left( 12-2x \right)^{2} \\ & = x \left( 4x^{2}-48x+144 \right) \\ & = 4x^{3}-48x^{2}+144x \\ f'(x) & = 12x^{2}-96x +144 \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 12x^{2}-96x +144 \\ 0 & = x^{2}-8x +12 \\ 0 & = \left( x-6 \right) \left( x-2 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =6\ \text{atau}\ x =2 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=2$ atau $x=6$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 12x^{2}-96x +144 \\ f''(x) & = 24x -96 \\ \hline f''(2) & = 24(2)-96=-48 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(2) \\ f''(6) & = 24(6)-96=48 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(6) \\ \end{align}$
Nilai maksimum $f(2)$ dan Nilai minimum $f(6)$
$\begin{align} f(x) & = x \left( 12-2x \right)^{2} \\ \\ f(2) & = 2 \left( 12-2(2) \right)^{2} \\ & = 2 \left( 8 \right)^{2} = 128 \\ \hline f(6) & = 6 \left( 12-2(6) \right)^{2} \\ \\ & = 6 \left( 0 \right)^{2} = 0 \end{align}$
Dengan nilai maksimum $128$ maka $p=128$ dan nilai minimum $0$ maka $q=0$. Kita peroleh nilai $p-q=128$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 128$
33. Soal SPMB 2005 Kode 171 |*
Soal LengkapJika fungsi $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+1$ mencapai maksimum di titik $A$, maka absis titik $A$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align} f(x) & = 2x^{3}-9x^{2}+1 \\ f'(x) & = 6x^{2}-18x \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 6x^{2}-18x \\ 0 & = x^{2}-3x \\ 0 & = \left( x \right) \left( x-3 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =0\ \text{atau}\ x =3 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=0$ atau $x=3$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 6x^{2}-18x \\ f''(x) & = 12x -18 \\ \hline f''(0) & = 12(0)-18=-18 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(0) \\ f''(3) & = 12(3)-18=18 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(3) \\ \end{align}$
Nilai maksimum adalah $f(0)$ atau saat $x=0$. Dikatakan pada soal $f(x)$ mencapai maksimum di titik $A$, maka absis titik $A$ adalah $0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$
34. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*
Soal LengkapFungsi $f(x)= x^{4}-2x^{2}+ax+a$ mempunyai nilai minimum $b$ di $x=1$. Nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Seperti yang kita ketahui bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align} f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\ f'(x) &= 4x^{3}-4x +a
\end{align}$
Karena $f(x)$ nilai minimumnya $b$ di $x=1$ maka $f'(1)=0$ sehingga berlaku:
$\begin{align} f'(1) &= 4(1)^{3}-4(1) +a \\ 0 &= 4-4 +a \\ 0 &= a \\ \hline
f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\ f(x) &= x^{4}-2x^{2} \\ b=f(1) &= (1)^{4}-2(1)^{2} \\ &= 1-2=-1 \\ \hline
a+b &= 0-1=-1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$
35. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*
Soal LengkapNilai minimum dari $y=x^{4}-6x^{2}-3$ mencapai...
$\begin{align} (A)\ & -14 \\ (B)\ & -13 \\ (C)\ & -12 \\ (D)\ & -11 \\ (E)\ & -10 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align} f(x) & = x^{4}-6x^{2}-3 \\ f'(x) & = 4x^{3}-12x \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 4x^{3}-12x \\ 0 & = x^{3}-3x \\ 0 & = \left( x \right) \left( x^{2}-3 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =0\ \text{atau}\ x =\pm \sqrt{3} \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=0$ atau $x=\pm \sqrt{3}$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 4x^{3}-12x \\ f''(x) & = 12x^{2}-12 \\ \hline f''(0) & = 12(0)^{2}-12=-12 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(0) \\ f''\left(\pm \sqrt{3} \right) & = 12\left( \sqrt{3} \right)^{2}-12=24 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f\left(\pm \sqrt{3} \right) \\ \end{align}$
Nilai minimum $f\left(\pm \sqrt{3} \right)$ adalah:
$\begin{align} f(x) & = x^{4}-6x^{2}-3 \\ f\left(\pm \sqrt{3} \right) & = \left(\pm \sqrt{3} \right)^{4}-6\left(\pm \sqrt{3} \right)^{2}-3 \\ & = 9-6(3)-3 \\ & = -12 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -12$
36. Soal SPMB 2004 Regional II |*
Soal LengkapFungsi $f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$ mencapai...
$\begin{align} (A)\ & \text{maksimum di}\ \left( 0,5 \right) \\ (B)\ & \text{maksimum di}\ \left( 3,-22 \right) \\ (C)\ & \text{minimum di}\ \left( -1,10 \right) \\ (D)\ & \text{minimum di}\ \left( -3,22 \right) \\ (E)\ & \text{minimum di}\ \left( 3,-22 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align} f(x) & = x^{3}-3x^{2}-9x+5 \\ f'(x) & = 3x^{2}-6x -9 \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 3x^{2}-6x -9 \\ 0 & = x^{2}-2x -3 \\ 0 & = \left( x+1 \right) \left( x-3 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =-1\ \text{atau}\ x =3 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=-1$ atau $x=3$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 3x^{2}-6x -9 \\ f''(x) & = 6x -6 \\ \hline f''(-1) & = 6(-1)-6=-12 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(-1) \\ f''(3) & = 6(3)-6=12 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(3) \\ \end{align}$
Nilai maksimum $f(-1)$ dan Nilai minimum $f(3)$
$\begin{align} f(x) & = x^{3}-3x^{2}-9x+5 \\ f(-1) & = (-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+5 \\ & = -1 -3 +9 +5 = 10 \\ \hline f(3) & = (3)^{3}-3(3)^{2}-9(3)+5 \\ & = 27 - 27 -27 +5 = -22 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \text{minimum di}\ \left( 3,-22 \right)$
37. Soal SBMPTN 2016 Kode 217 |*
Soal LengkapMisalkan $f(x)=a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}$ mempunyai titik belok di $(4,13)$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{91}{8} \\ (B)\ & \dfrac{81}{8} \\ (C)\ & \dfrac{71}{8} \\ (D)\ & \dfrac{61}{8} \\ (E)\ & \dfrac{51}{8} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita gunakan turunan kedua, yaitu untuk menentukan titik belok sebuah fungsi dapat ditentukan dengan aturan titik belok sebuah fungsi yaitu $f''(x)=0$.
$\begin{align} f(x) &= a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}} \\ f(x) &= a x^{\frac{1}{2}}+ b x^{-\frac{1}{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot a x^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2} \cdot b x^{-\frac{3}{2}} \\ f''(x) &= \dfrac{1}{4} \cdot a x^{-\frac{3}{2}}+\dfrac{3}{4} \cdot b x^{-\frac{5}{2}} \\ &= \dfrac{a}{4 \cdot x^{\frac{3}{2}}} -\dfrac{3b}{4 \cdot x^{\frac{5}{2}}} \\ &= \dfrac{a}{4 \cdot x \sqrt{x}}-\dfrac{3b}{4 \cdot x^{2} \sqrt{x}} \\ \end{align}$
Titik belok fungsi adalah $(4,13)$ sehingga saat $x=4$ berlaku $f''(4)=0$:
$\begin{align} f''(x) &= \dfrac{a}{4 \cdot x \sqrt{x}}-\dfrac{3b}{4 \cdot x^{2} \sqrt{x}} \\ 0 &= \dfrac{a}{4 \cdot 4 \sqrt{4}}-\dfrac{3b}{4 \cdot 4^{2} \sqrt{4}} \\ 0 &= \dfrac{a}{32}-\dfrac{3b}{128} \\ \dfrac{3b}{128} &= \dfrac{a}{32} \\ \dfrac{3}{4}b &= a
\end{align}$
Fungsi melului titik $(4,13)$, sehingga berlaku $f(4)=13$:
$\begin{align} f(x) &= a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}} \\ f(4) &= a\sqrt{4}+\dfrac{b}{\sqrt{4}} \\ 13 &= 2a +\dfrac{b}{2} \\ 13 &= 2 \cdot \dfrac{3b}{4} +\dfrac{b}{2} \\ 13 &= \dfrac{3b}{2} +\dfrac{b}{2} \\ 13 &= \dfrac{4b}{2} \Rightarrow\ b= \dfrac{13}{2} \\ a &= \dfrac{3}{4} b \\ a &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{13}{2} = \dfrac{39}{8} \\ \hline a+b &= \dfrac{39}{8} + \dfrac{13}{2} \\ &= \dfrac{39}{8} + \dfrac{52}{8} \\ &= \dfrac{91}{8} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{91}{8}$
38. Soal SIMAK UI 2017 Kode 723 |*
Soal LengkapJika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $2x^{2}-(2c-1)x-c^{3}+4=0$, maka nilai maksimum $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ adalah$\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -4\dfrac{3}{4} \\ (B)\ & -3\dfrac{3}{4} \\ (C)\ & -2\dfrac{3}{4} \\ (D)\ & 2\dfrac{3}{4} \\ (E)\ & 3\dfrac{3}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu meminjam beberapa aturan dari persamaan kuadrat
Jika kita misalkan $M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align} M &= x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\ &= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2} \\ &= \left (-\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\dfrac{c}{a} \right ) \\ &= \left (\dfrac{2c-1}{2} \right )^{2}-2\left (\dfrac{-c^{3}+4}{2} \right ) \\ &= \dfrac{4c^{2}-4c+1}{4}+c^{3}-4 \\ &= c^{2}-c+\dfrac{1}{4}+c^{3}-4 \\ &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}
\end{align}$
Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $M'=0$.
$\begin{align} M &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4} \\ M' &= 3c^{2}+2c-1 \\ 3c^{2}+2c-1 &= 0 \\ \dfrac{1}{3}(3c+3)(3c-1) &= 0 \\ \end{align}$
Kita peroleh nilai $c=-1$ dan $c=\dfrac{1}{3}$
Untuk $c=-1$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $M=c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}$ lalu membandingkan hasilnya untuk $c=\dfrac{1}{3}$.
$\begin{align} M' &= 3c^{2}+2c-1 \\ M'' &= 6c +2 \\ M'' \left( -1 \right)&= 6(-1)+2=-4 \\ M'' \lt 0 \rightarrow & c=-1\ \text{pembuat maksimum} \\ \hline M'' \left( \frac{1}{3} \right)&= 6\left( \frac{1}{3} \right) +2=4 \\ M'' \gt 0 \rightarrow & c=\frac{1}{3}\ \text{pembuat minimum} \\ \end{align}$
Nilai maksimum $M$ adalah saat $c=-$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} M &= c^{3}+c^{2}-c-3\frac{3}{4} \\ &= (-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)-3\frac{3}{4} \\ &= -1+1+1-3\frac{3}{4} \\ &= -2\dfrac{3}{4}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -2 \dfrac{3}{4}$
39. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 |*
Soal LengkapDiketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan $x^{2}+5ax+a^{3}-4a+1=0$. Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah$\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -\sqrt{3} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \sqrt{3} \\ (E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu meminjam beberapa aturan dari persamaan kuadrat
Jika kita misalkan $N=x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align} N &= x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2} \\ &= x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2} \\ &= -\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} \\ &= -\dfrac{5a}{1}+\dfrac{a^{3}-4a+1}{1} \\ &= a^{3}-9a+1
\end{align}$
Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $N'=0$.
$\begin{align} N &= a^{3}-9a+1 \\ N' &= 3a^{2}-9 \\ 3a^{2}-9 &= 0 \\ a^{2}-3 &= 0 \\ (a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3}) &= 0
\end{align}$
Kita peroleh nilai $a=-\sqrt{3}$ dan $a=\sqrt{3}$
Untuk $a=-\sqrt{3}$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $N=a^{3}-9a+1$ lalu membandingkan hasilnya untuk $a=\sqrt{3}$.
Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum adalah $-\sqrt{3}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\sqrt{3}$
40. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*
Soal LengkapJika $f(x)=(x-1)^{\frac{2}{3}}$, maka...
$\begin{align} (1)\ & f\ \text{terdefinisi di}\ x \geq 0 \\ (2)\ & f'(2)=\dfrac{2}{3} \\ (3)\ & y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}\ \text{adalah garis singgung di}\ x=2 \\ (4)\ & f\ \text{selalu mempunyai turunan di setiap titik} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan
- Untuk point $(1)$ pernyataan $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ terdefinisi di $x \geq 0$ adalah BENAR
Sebuah fungsi dikatakan terdefinisi jika fungsi tersebut mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real. - Untuk point $(2)$ pernyataan $f'(2)=\dfrac{2}{3}$ adalah BENAR
$ \begin{align}
f(x) & = (x-1)^{\frac{2}{3}} \\ f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^{-\dfrac{1}{3}} \\ f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^{-\dfrac{1}{3}} \\ & = \dfrac{2}{3}
\end{align} $ - Untuk point $(3)$ pernyataan $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ adalah garis singgung di $x=2$ dan $y=(x-1)^\dfrac{2}{3}=1$ adalah BENAR
$ \begin{align}
m=f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^{-\dfrac{1}{3}} \\ m=f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{2}{3} \\ y-y_{1} & = m \left(x-x_{1} \right) \\ y-1 & = \dfrac{2}{3} (x-2) \\ y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3} + 1 \\ y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3} \\ \end{align} $ - Untuk point $(4)$ pernyataan $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik adalah SALAH, karena $f(x)=(x-1)^{\frac{2}{3}}$ tidak mempunyai nilai turunan ketika $x=1$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1),\ (2),\ (3)\ \text{BENAR}$
41. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 |*
Soal LengkapDiberikan grafik fungsi $f \left( x \right)= 3x^{\frac{5}{3}}-15x^{\frac{2}{3}}$, maka...
$\begin{align} (1)\ & f' \left( 0 \right)\ \text{tidak ada} \\ (2)\ & \text{fungsi naik di selang}\ \left( 2, \infty \right) \\ (3)\ & \text{fungsi turun di selang}\ \left( 0, 2 \right) \\ (4)\ & \text{terjadi minimum relatif di titik}\ \left( 2, -9\sqrt[3]{4} \right) \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f \left( x \right) & = 3x^{\frac{5}{3}}-15x^{\frac{2}{3}} \\ f' \left( x \right) & = \frac{5}{3} \cdot 3x^{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3} \cdot 15x^{-\frac{1}{3}} \\ & = 5x^{\frac{2}{3}}-10x^{-\frac{1}{3}} \cdot \dfrac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{5x-10}{x^{\frac{1}{3}}} \end{align}$
- $f' \left( 0 \right)\ \text{tidak ada}$
$\begin{align} f'\left( 0 \right) & = \dfrac{5(0)-10}{0^{\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{-10}{0} \\ & = \text{tidak terdefinisi} \end{align}$
$ \therefore $ Pernyataan (1) BENAR - $\text{fungsi naik di selang}\ \left( 2, \infty \right)$
$\begin{align} f'\left( x \right) & \gt 0 \\ \dfrac{5x-10}{x^{\frac{1}{3}}} & \gt 0 \\ \dfrac{5x-10}{\sqrt[3]{x }} & \gt 0 \\ \end{align}$Pertidaksamaan di atas berlaku saat $x \gt 0$ dan $5x-10 \gt 0 \rightarrow x \gt 2$, sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $x \gt 2$.
$ \therefore $ Pernyataan (2) BENAR - $\text{fungsi turun di selang}\ \left( 0,2 \right)$
$\begin{align} f'\left( x \right) & \lt 0 \\ \dfrac{5x-10}{x^{\frac{1}{3}}} & \lt 0 \\ \dfrac{5x-10}{\sqrt[3]{x }} & \lt 0 \\ \end{align}$Pertidaksamaan di atas berlaku saat $x \gt 0$ dan $5x-10 \lt 0 \rightarrow x \lt 2$, sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $0 \lt x \lt 2$.
$ \therefore $ Pernyataan (3) BENAR - $\text{terjadi minimum relatif di titik}\ \left( 2, -9\sqrt[3]{4} \right)$
$\begin{align} f'\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{5x-10}{x^{\frac{1}{3}}} & = 0 \\ 5x-10 & = 0 \\ x & = 2 \\ \hline f \left( 2 \right) & = 3(2)^{\frac{5}{3}}-15(2)^{\frac{2}{3}} \\ & = 3(2)^{\frac{5}{3}}-15(2)^{\frac{2}{3}} \\ & = (2)^{\frac{2}{3}} \left( 3(2)^{1}-15 \right) \\ & = (2)^{\frac{2}{3}} \left( -9 \right) \\ & = -9\sqrt[3]{4} \end{align}$
$ \therefore $ Pernyataan (4) BENAR
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1)(2)(3)(4)\ \text{BENAR}$
42. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*
Soal LengkapJika persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $p-q$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, maka dapat kita misalkan akar-akarnya adalah $m$ dan $ \dfrac{1}{m}$ dengan syarat $m \gt 0$.
Hasil kali akar-akar,
$\begin{align} m \times \dfrac{1}{m} & = \dfrac{c}{a} \\ 1 & = q
\end{align}$
Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align} m + \dfrac{1}{m} & = -\dfrac{b}{a} \\ m+m^{-1} & = p
\end{align}$
Nilai maksimum $p-q$ kita coba cari dengan turunan pertama $p-q$ yaitu
$\begin{align} p-q & = m+m^{-1} - 1 \\ (p-q)' & = 1-m^{-2} \\ 1-m^{-2} & = 0 \\ m^{-2} & = 1 \\ \dfrac{1}{m^{2}} & = 1 \\ 1 & = m^{2} \\ m = -1\ & \text{atau}\ m=1\ \text{(TM)}
\end{align}$
Untuk $m=-1$
$p-q = m+m^{-1} - 1$
$p-q =-1+(-1)^{-1} - 1$
$p-q =-3$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$
43. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*
Soal LengkapSebuah kotak dengan alas persegi dirancang agar volumnya $2$ liter. Jika biaya pembuatan bidang alas dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, maka biaya pembuatan termurahnya adalah $p$ ribu rupiah, dengan $p=\cdots$.
$\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 14 \\ (E)\ & 15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan alas dan tinggi kotak masing-masing adalah $a$ dan $t$, sehingga adalah:
$\begin{align} V &= L_{alas} \cdot Tinggi \\ 2 &= a^{2} \cdot t \\ t &= \dfrac{2}{a^{2}}
\end{align}$
Luas permukaan balok adalah:
$\begin{align} L &= 2a^{2}+ 4 \cdot at \\ L &= 2a^{2}+ 4 \cdot a \cdot \dfrac{2}{a^{2}} \\ L &= 2a^{2}+ \dfrac{8}{a} \\ L &= 2a^{2}+ 8 a^{-1} \\ \end{align}$
Biaya pembuatan bidang alas dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, sehingga total biaya adalah:
$\begin{align} B &= 2a^{2} \cdot 2 + 8 a^{-1} \cdot 1\\ B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \end{align}$
Untuk mendapatkan biaya minimum atau termurah kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(B'=0)$, yaitu:
$\begin{align} B' &= 8a - 8 a^{-2} \\ 0 &= 8a - 8 a^{-2} \\ 0 &= 8a^{3} - 8 \\ 8a^{3} &= 8 \\ a^{3} &= 1 \\ a &= 1 \end{align}$
Biaya termurah kita peroleh saat $a=1$ sehingga biaya termurah adalah
$\begin{align} B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \\ p &= 4(1)^{2} + 8 (1)^{-1} \\ p &= 12
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$
44. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*
Soal LengkapUntuk $x \geq 1$, nilai maksimum fungsi $f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x+7$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 11 \\ (E)\ & 23
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan nilai maskimum kita coba uji pakai turunan pertama sama dengan nol, yaitu:
$\begin{align} f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= x^{2}-4x +3 \\ 0 &= (x-1)(x-3) \\ x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\ \hline
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f(1) &= -(1)^{3}+6(1)^{2}-9(1)+7 \\ &= -1+6-9+7=3 \\ f(3) &= -(3)^{3}+6(3)^{2}-9(3)+7 \\ &= -27+54-27+7=7
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$
Catatan Tambahan:
Menentukan nilai maksimum atau minimum dapat juga menggunakan Uji turunan kedua yaitu:
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum adalah $f(a)$.
f''(x) &= -6x+12 \\ f''(1) &= -6(1) +12=6 \\ f''(3) &= -6(3) +12=-6
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas, $x=3$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(3)$ yaitu $7$.
45. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*
Soal LengkapDiketahui $f$ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$. Jika $f'(1)=3$, maka $f(4)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 11 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 22
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $f(x)$ adalah fungsi kuadrat, kita misalkan $f(x)=ax^{2}+bx+c$
Untuk $f(x)= ax^{2}+bx+c$, $f'(x)=2ax +b$ dan $f'(1)=3$, maka $3=2a+b$.
Garis singggung $f(x)=ax^{2}+bx+c$ di $x=-1$ adalah $y=-x+1$ dimana gradien $m=-1$.
$\begin{align} m & = f'(x)=2ax +b \\ m & = f'(-1) \\ -1 & = -2a+b
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\ -2a+b = -1 & \\ \hline
2b = 2 & \\ b = 1 & \\ a = 1
\end{array} $
Untuk $a=1$ dan $b=1$ maka $f(x)= x^{2}+ x+c$
Saat $x=-1$ diperoleh $y=-x+1=-(-1)+1=2$ maka $2= (-1)^{2}+(-1)+c$ kita peroleh $c=2$
$f(x)= x^{2}+ x+2$
$f(4)= 4^{2}+ 4+2=22$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 22$
46. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*
Soal LengkapDiketahui grafik fungsi $f'(x)$ seperti terlihat di atas. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi $f(x)$ adalah...
$(1)\ $ Saat $x \lt-1$, $f(x)$ turun
$(2)\ $ Saat $0 \lt x \lt 2$, $f(x)$ naik
$(3)\ $ Garis singgung kurva $f(x)$ di $x=-1$ sejajar dengan sumbu $X$
$(4)\ $ $x=2$ merupakan titik ekstrim
Alternatif Pembahasan:
- Saat $x \lt -1$ terlihat pada gambar $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ turun.
$\therefore$ pernyataan $(1)$ Benar - Saat $0 \lt x \lt 2$ terlihat pada gambar $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ naik.
$\therefore$ pernyataan $(2)$ Benar - Saat $x=-1$ terlihat pada gambar $f'(-1) = 0$ maka $x=-1$ merupakan titik ekstrim. Garis singgung kurva pada titik ekstrim sejajar sumbu $x$
$\therefore$ pernyataan $(3)$ Benar - Saat $x=2$ terlihat pada gambar $f'(2) = 0$ maka $x=2$ merupakan titik ekstrim.
$\therefore$ pernyataan $(4)$ Benar
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1)(2)(3)(4)\ \text{Benar}$
47. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 |*
Soal LengkapDiketahui $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$ dengan $0 \lt a \lt b$.
Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi $f$ adalah...
$(1)$ Jika $x \lt b$, $f(a)$ adalah nilai maksimum $f$.
$(2)$ Jika $x \gt 0$, $f(b)$ adalah nilai minimum $f$.
$(3)$ Jika $x \lt 0$, $f$ merupakan fungsi turun.
$(4)$ Jika $x \gt b$, $f$ merupakan fungsi naik.
Alternatif Pembahasan:
Jika $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$, untuk $f'(x)=0$ maka kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \\ 0 &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b)
\end{align}$
Titik ekstrim adalah saat $x=0$, $x=a$, dan $x=b$, sehingga ada empat daerah yang dibatasi yaitu:
- Saat $x \lt 0$, maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik
- Saat $0 \lt x \lt a$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
- Saat $a \lt x \lt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
- Saat $ x \gt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik
- Untuk $x=0$ adalah nilai maksimum $f$, karena saat $x \lt 0$ fungsi $f$ naik.
- Untuk $x=a$ adalah titik belok $f$, karena saat $0 \lt x \lt a$ dan $a \lt x \lt b$ fungsi $f$ turun.
- Untuk $x=b$ adalah nilai minimum $f$, karena saat $x \gt b$ fungsi $f$ naik.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)(4)\ \text{Benar}$
48. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 |*
Soal LengkapDiketahui grafik fungsi $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ dengan $b^{2} \lt 3ac$. Pernyataan berikut mungkin terjadi pada fungsi $f$ tersebut, kecuali...
$(1)\ $ $f$ merupakan fungsi naik di seluruh daerah asalnya.
$(2)\ $ $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.
$(3)\ $ $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum.
$(4)\ $ $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik.
Alternatif Pembahasan:
Dari $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ kita peroleh $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$
$\begin{align} D &= b^{2}-4ac \\ &= (2b)^{2}-4(3a)(c) \\ &= 4b^{2}-12ac \\ &= 4 \left( b^{2}-3ac \right) \\ \hline
b^{2} \lt 3ac\ & \text{sehingga}\ D \lt 0
\end{align}$
- $b^{2} \lt 3ac$, dimana $b^{2} \gt 0$ sehingga $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ atau $a \gt 0$ dan $c \gt 0$
- Saat $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ adalah definit negatif atau $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ selalu turun.
- Saat $a \gt 0$ dan $c \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ adalah definit positif atau $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ selalu naik.
- $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik benar yaitu saat $x=0$
- $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum karena $f$ selalu naik atau selalu turun
- $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik tidak tepat karena $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ \text{Benar}$
49. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 |*
Soal LengkapGrafik $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ mempunyai garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$, maka jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & \dfrac{5}{6} \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & \dfrac{5}{3} \\ (E)\ & \dfrac{8}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$ dapat terjadi jika dan hanya jika $P$ dan $Q$ adalah titik ekstrim, sehingga turunan pertama pada titik $P$ dan $Q$ adalah nol.
Dari $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ kita peroleh $y' =x^{2}-3x +2 $
$\begin{align} y' & =x^{2}-3x +2 \\ 0 &= (x-2)(x-1) \\ x=2\ &\text{atau}\ x=1 \\ \hline
x=1 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(1)^{3}-\dfrac{3}{2}(1)^{2}+2(1) \\
& \rightarrow y =\dfrac{1}{3} -\dfrac{3}{2} +2 \\ & \rightarrow y =\dfrac{5}{6} \\ x=2 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(2)^{3}-\dfrac{3}{2}(2)^{2}+2(2) \\
& \rightarrow y =\dfrac{8}{3} -\dfrac{12}{2} +4 \\
& \rightarrow y =\dfrac{2}{3}
\end{align}$
Jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah $\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{6}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$
50. Soal UM STIS 2011 |*
Soal LengkapLuas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah $x$, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah...
$\begin{align} (A)\ & \pi x \\ (B)\ & 2\pi x \\ (C)\ & \dfrac{x}{2\pi} \\ (D)\ & \dfrac{x}{\pi} \\ (E)\ & \dfrac{x^{2}}{4\pi}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya, dimana keliling dalah $x$, sehingga berlaku:
$\begin{align} K & =2 \pi\ r \\ x & =2 \pi\ r \\ r & = \dfrac{x}{2 \pi} \\ \hline
L & = \pi \cdot r^{2} \\ & = \pi \cdot \left( \dfrac{x}{2 \pi} \right)^{2} \\ & = \pi \cdot \dfrac{x^{2}}{4 \pi^{2}} \\ & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi}
\end{align}$
Laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya dapat kita tuliskan $\dfrac{\Delta L}{\Delta K}=\dfrac{\Delta L}{\Delta x}=\dfrac{d L}{dx}$.
$\begin{align} L & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi} \\ \dfrac{d L}{dx} & = \dfrac{2x}{4 \pi} \\ & = \dfrac{ x}{2 \pi}
\end{align}$
Jika tertarik untuk mencoba soal yang berbeda tentang Laju perubahan coba disini
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{x}{2\pi}$
51. Soal UM STIS 2011 |*
Soal LengkapProyek pembangunan gedung STIS dapat diselesaikan dalam $x$ hari, dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya proyek pembangunan gedung STIS ini minimum, maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu...
$\begin{align} (A)\ & 40\ \text{hari} \\ (B)\ & 60\ \text{hari} \\ (C)\ & 90\ \text{hari} \\ (D)\ & 120\ \text{hari} \\ (E)\ & 150\ \text{hari}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Fungsi total biaya yang dikerjakan setiap hari adalah $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$, sehingga biaya total pekerjaan selama $x$ hari adalah:
$\begin{align} B(x) & = \left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right) x \\ & = 3x^{2}-900x+200 \\ B'(x)& = 6x-900
\end{align}$
Untuk mendapatakan biaya minimum dapat kita gunakan turunan pertama $B'(x)=0$
$\begin{align} 6x-900 & = 0 \\ 6x & = 900 \\ x & = \dfrac{900}{60}=150
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 150\ \text{hari}$
52. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*
Soal LengkapJarak terdekat pada kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ ke garis $2x-y=4$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{ 5 }\sqrt{5} \\ (B)\ & \dfrac{5}{ 3 }\sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{7}{ 5 }\sqrt{5} \\ (D)\ & \dfrac{5}{ 7 }\sqrt{7} \\ (E)\ & \dfrac{1}{ 5 }\sqrt{5} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Misal titik $(m,n)$ adalah titik pada kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ sehingga jarak kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ dan garis $2x-y=4$ minimum (terdekat).
$y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ pada titik $(m,n)$ berlaku $n=\dfrac{1}{2}m^{2}+1$.
Dengan menggunakan rumus jarak titik $\left( x_{1},y_{1}\right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right| $ sehingga jarak titik $(m,n)$ ke garis $2x-y-4=0$ adalah:
$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m-n-4}{ \sqrt{(2)^2+(-1)^2}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m-\left( \dfrac{1}{2}m^{2}+1 \right) -4}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-1 -4}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ \end{align}$
Untuk menentukan nilai $d$ minimum maka kita dapat cara darai $d'=0$.
$\begin{align} d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d' &= \dfrac{\left( 2 - m \right) \sqrt{5}-0}{ \left( \sqrt{5} \right)^{2}} \\ 0 &= \dfrac{\left( 2 - m \right) \sqrt{5} }{5}\\ 0 &= \left( 2 - m \right) \sqrt{5} \\ \hline
m &= 2 \\ \hline
d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2(2)- \dfrac{1}{2}(2)^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{4 - 2 -5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{-3}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \dfrac{3}{ \sqrt{5} }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{3}{ 5 }\sqrt{5}$
53. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*
Soal LengkapDari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi $30\ cm$ akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara mengunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti gambar. Volume kotak yang terbesar yang dapat dibuat adalah...$\begin{align} (A)\ & 2.000\ cm^{3} \\ (B)\ & 3.000\ cm^{3} \\ (C)\ & 4.000\ cm^{3} \\ (D)\ & 5.000\ cm^{3} \\ (E)\ & 6.000\ cm^{3} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Soal ini adalah salah satu contoh penerapan atau aplikasi fungsi turunan, volume kotak dapat kita hitung dengan aturan menghitung volum tabung yaitu $\text{Luas Alas} \times \text{tinggi}$.
Panjang sisi karton adalah $30\ cm$ dan dipotong sebesar $x\ cm$ di setiap sudut karton, sehingga alas kotak nantinya adalah persegi dengan panjang sisi $30-2x$ dan tinggi kotak adalah $x$. Volume kotak adalah:
$\begin{align} V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\ & = \left( 900-120x+4x^{2} \right) \cdot x \\ & = 4x^{3}-120x^{2}+900x \\ \end{align}$
Volume kotak terbesar kita coba tentukan dengan uji turunan pertama yaitu;
$\begin{align} V'(x) & = 0 \\ 12x^{2}-240x+900 & = 0 \\ x^{2}-20x+75 & = 0 \\ (x-15)(x-5) & = 0
\end{align}$
Untuk menentukan volume kotak terbesar dapat dengan menguji pembuat nol pada turunan pertama ($x=5$ dan $x=15$) ke turunan kedua yaitu;
$\begin{align} V''(x) & = 2x-20 \\ \hline
x=15 & \rightarrow V''(15) = 10\ ( 10 \gt 0) \\ & x=15\ \text{pembuat volume minimum} \\ \hline
x=5 & \rightarrow V''(5) = -10\ (-10 \lt 0) \\ & x=15\ \text{pembuat volume maximum} \\ \hline
V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\ V(5) & = \left(30-2(5) \right)^{2} \cdot 5 \\ V(5) & = 400 \cdot 5 =2000
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2.000\ cm^{3}$
54. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*
Soal LengkapSebuah akuarium berbentuk balok tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegipanjang dengan perbandingan lebar dan panjangnya $2:3$. Jika luas permukaan akuarium adalah $1.800\ \text{cm}^{2}$, volume maksimum akuarium tersebut adalah...$\text{cm}^{3}$
$\begin{align} (A)\ & 62.000 \\ (B)\ & 72.000 \\ (C)\ & 82.000 \\ (D)\ & 92.000 \\ (E)\ & 102.000 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita ilustrasikan balok yang disampaikan pada soal dan dengan memisalkan panjang $3x$, lebar $2x$ tinggi $t$, kurang lebih seperti berikut ini:
Luas permukaan balok tanpa tutup adalah $1.800\ m^{2}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
1800 &= 2x \cdot 3x + 2 \cdot 2x \cdot t + 2 \cdot 3x \cdot t \\ 1800 &= 6x^{2} + 4xt + 6xt \\ 1800 &= 6x^{2} + 10xt \\ 1800 - 6x^{2} &= 10xt \\ \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} &= t
\end{align} $
Volume balok:
$\begin{align}
V &= 2x \cdot 3x \cdot t \\ &= 6x^{2} \cdot \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} \\ &= 6x \left( 1800- 6x^{2} \right) \\ &= 10800x- 36x^{3}
\end{align} $
Dengan menggunakan uji turunan pertama $\left( V'=0 \right)$ kita peroleh $x$ pembuat maksimum:
$\begin{align}
V' &= 10800 - 108x^{2} \\ 0 &= 108 \left( 100 - x^{2} \right) \\ 0 &= 108 \left( 10 + x \right)\left( 10 - x \right) \\ \hline
& x = -10\ \text{atau}\ x=10 \\ \hline
V &= 10800x- 36x^{3} \\ V &= 10800(10)- 36(10)^{3} \\ V &= 108.000- 36.000 \\ V &= 72.000 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 72.000$
55. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*
Soal LengkapKawat yang panjangnya $128\ cm$ akan dibentuk menjadi lima persegi panjang seperti pada gambar berikut:Luas maksimum daerah yang dapat dibuat dengan kawat adalah...$\text{cm}^{2}$
$\begin{align} (A)\ & 280 \\ (B)\ & 290 \\ (C)\ & 300 \\ (D)\ & 310 \\ (E)\ & 320 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Luas lima persegi panjang seperti gambar adalah $L=5xy$
Panjang kawat yang dibutuhkan kelima persegipanjang adalah:
$ \begin{align} 8x+8y & = 128 \\ x+ y & = 16 \\ y & = 16-x \\ \hline
L & = 5xy \\ L & = 5x(16-x) \\ L & = 80x-5x^{2}
\end{align}$
Luas maksimum dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $\left(L'=0 \right)$.
$ \begin{align} L' & = 80-10x \\ 0 & = 80-10x \\ 10x & = 80 \\ x & = 8 \\ \hline
L & = 80x-5x^{2} \\ & = 80(8)-5(8)^{2} \\ & = 640-320 \\ & = 320
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 320$
56. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 |*
Soal LengkapGaris singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang membuat segitiga $PQR$ sama sisi adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & \sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \sqrt{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4} \sqrt{3} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita coba mengilustrasikan kurva $y=3-x^{2}$ dan garis singgung di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ seperti berikut ini;
Dari gambar di atas garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ yaitu $PR$ dan $Q(a,b)$ yaitu $QR$ dapat kita hitung grad gradien masing-masing garis dengan menggunakan turunan pertama $m=y'$:
$\begin{align} y &= 3-x^{2} \\ y' &= -2x \\ m_{PR} &= -2(-a) = 2a \\ m_{QR} &= -2(a) = 2a
\end{align}$
Nilai gradien garis dapat juga kita hitung dengan menggunakan $m=tan\ \alpha$ dimana $\alpha$ adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu-$x$ positif.
Karena yang diharapkan segitiga $PQR$ menjadi segitiga samasisi maka sudut $PQR=\alpha$ adalah $\alpha=60^{\circ}$ sehingga gradien garis $PR$ adalah:
$\begin{align} m_{PR} &=tan\ 60^{\circ} \\ 2a &= \sqrt{3} \\ a &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$
57. Soal UMB-PT 2014 Kode 673 |*
Soal LengkapJumlah dua bilangan positif adalah $120$. Agar hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua mencapai maksimum, maka selisih dari bilangan yang terbesar dan yang terkecil adalah...
$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 30 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 50
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Misal kedua bilangan adalah $a$ dan $b$;
$\begin{align} a+b &= 120 \\ b &= 120-a \\ H &= a^{2} \cdot b \\ &= a^{2} \cdot (120-a) \\ &= 120a^{2} - a^{3}
\end{align}$
Misal hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua adalah $H$, dan untuk mendapatkan $H$ maksimum kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(H'=0)$, yaitu:
$\begin{align} H' &= 240a -3a^{ 2} \\ 0 &= 240a -3a^{ 2} \\ 0 &= a \left( 240 -3a \right) \\ a &= 0\ \text{atau}\ a=\dfrac{240}{3}=80
\end{align}$
Nilai $H$ maksimum kita peroleh saat $a=80$ sehingga $b=40$, dan selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $80-40=40$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 40$
58. Soal UMPTN 1992 Rayon A |*
Soal LengkapUntuk memproduksi $x$ unit barang per hari diperlukan biaya $\left( x^{3}-3.000x^{2}+3.000.000x \right)$ rupiah. Jika barang itu harus harus diproduksikan, maka biaya produksi per unit yang paling rendah tercapai bila per hari diproduksi...
$\begin{align} (A)\ & 1.000\ \text{unit} \\ (B)\ & 1.500\ \text{unit} \\ (C)\ & 2.000\ \text{unit} \\ (D)\ & 3.000\ \text{unit} \\ (E)\ & 4.000\ \text{unit}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan biaya minimum dapat kita pakai uji turunan $\left( y'=0 \right)$ pertama sama dengan nol pada $y=\left( x^{3}-3.000x^{2}+3.000.000x \right)$.
$\begin{align} y &= x^{3}-3.000x^{2}+3.000.000x \\ y' &= 3x^{2}-6.000x +3.000.000 \\ \hline
y' &= 0 \\ 0 &= 3x^{2}-6.000x +3.000.000 \\ 0 &= x^{2}-2.000x +1.000.000 \\ 0 &= (x-1000)(x-1000) \\ & x=1000
\end{align}$
Biaya produksi per unit yang paling rendah tercapai bila per hari diproduksi $1.000$ unit
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1.000\ \text{unit}$
59. Soal SPMB 2004 Regional I |*
Soal LengkapJumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah $75$. Nilai terbesar dari hasil kali kedua bilangan tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 50 \\ (B)\ & 75 \\ (C)\ & 175 \\ (D)\ & 250 \\ (E)\ & 350 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Misal kedua bilangan adalah $a$ dan $b$, sehingga jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah $75$ dapat kita tuliskan $a+b^{2}= 75$ atau $a= 75-b^{2}$.
Hasil Kali $(HK)$ kedua bilangan adalah:
$\begin{align} HK &= a \times b \\ &= \left( 75-b^{2} \right) \times b \\ &= 75b-b^{3} \end{align}$
Untuk mendapatkan $HK$ maksimum, kita gunakan turunan pertama dari $HK$ yaitu $HK'=0$.
$\begin{align} HK &= 75b-b^{3} \\ HK' &= 75-3b^{2} \\ \hline HK' &= 0 \\ 0 &= 75-3b^{2} \\ 0 &= b^{2}-25 \\ 0 &= \left( b-5 \right)\left( b+5 \right) \\ &b=5\ \text{atau}\ b=-5 \\ \end{align}$
Untuk $b=5\ \rightarrow a=50$ maka $ab=5 \cdot 50=250$, sedangkan untuk $b=-5\ \rightarrow a=50$ maka $ab=5 \cdot 50=-250$. Nilai terbesar dari $a \cdot b$ adalah $250$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 250$
60. Soal SPMB 2004 Regional II |*
Soal LengkapJika $\bigtriangleup ABC$ siku-siku sama kaki, $AC=BC=8$ dan $AD=CE$, maka luas minimum dari segiempat $ABED$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 16 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 32 \\ (D)\ & 48 \\ (E)\ & 64 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Luas segitiga $ABC$ adalah
$ \begin{align} \left[ ABC \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \\ & = 32 \end{align}$
Jika pada $\bigtriangleup ABC$ kita misalkan $AD=x$ maka $CD=8-x$, $CE=x$ dan $EB=8-x$ maka dapat kita gambarkan seperti berikut:
Untuk menentukan luas segiempat $ABED$ maksimum dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $L'=0$, yaitu:
$ \begin{align} L & = \left[ ABC \right]-\left[ CDE \right] \\ & = 32- \dfrac{1}{2} \cdot CE \cdot CD \\ & = 32- \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot (8-x) \\ & = 32-4x+\dfrac{1}{2}x^{2} \\ L' & = -4+x \\ \hline L' & = 0 \\ 0 & = -4+x \\ 4 & = x \end{align}$
Luas maksimum segiempat $ABED$ terjadi saat $x=4$ yaitu
$ \begin{align} L & = 32-4x+\dfrac{1}{2}x^{2} \\ & = 32-4(4)+\dfrac{1}{2}(4)^{2} \\ & = 32-16+8 \\ & = 24 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 24$
61. Soal UMPTN 1997 Rayon A, B, C |*
Soal LengkapSebuah talang air akan dibuat dari lembaran seng yang lebarnya $30\ cm$ dengan melipat lebarnya atas tiga bagian yang sama, seperti terlihat pada gambar.Jika $\theta$ menyatakan besar sudut dinding talang tersebut dengan bidang alasnya $\left( 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} \right)$, maka volume air yang tertampung paling banyak bila $\theta=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 75^{\circ} \\ (B)\ & 60^{\circ} \\ (C)\ & 45^{\circ} \\ (D)\ & 30^{\circ} \\ (E)\ & 22,5^{\circ} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Agar volume air yang tertampung maksimum pada talang maka luas penampang talang yang tampak seperti trapesium harus maksimum. Sebagai bantuan, titik sudut kita beri nama dan kita misalkan panjang $BF=x$ seperti gambar berikut:
Luas trapesium $ABCD$ adalah:
$ \begin{align} L & = \left[ ABCD \right] \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \left( BC+AD \right) \cdot AF \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 10+2x+10 \right) \cdot AF \\ & = \left( 10+x \right) \cdot AF \\ \hline AF & = \sqrt{AB^{2}-BF^{2}} \\ & = \sqrt{10^{2}-x^{2}} \\ & = \sqrt{100-x^{2}} \\ \hline L & = \left( 10+x \right) \cdot \sqrt{100-x^{2}} \\ \end{align}$
Luas maksimum tercapai saat $L'=0$.
$ \begin{align} L & = \left( 10+x \right) \cdot \sqrt{100-x^{2}} \\ \hline u &= 10+x \rightarrow u'= 1\\ v &= \sqrt{100-x^{2}} \\ v' &= \dfrac{1}{2}\left(100-x^{2} \right)^{-\frac{1}{2}} \left(-2x \right) \\ &= \dfrac{-x}{\sqrt{100-x^{2}}} \\ \hline L' &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ & = 1 \cdot \left( \sqrt{100-x^{2}} \right) +\left( 10+x \right) \left( \dfrac{-x}{\sqrt{100-x^{2}}} \right) \\ & = \sqrt{100-x^{2}} - \left( \dfrac{ 10x+x^{2} }{\sqrt{100-x^{2}}} \right) \\ \hline L' & = 0 \\ 0 & = \sqrt{100-x^{2}} - \left( \dfrac{ 10x+x^{2} }{\sqrt{100-x^{2}}} \right) \\ \sqrt{100-x^{2}} & = \dfrac{ 10x+x^{2} }{\sqrt{100-x^{2}}} \\ 100-x^{2} & = 10x+x^{2} \\ 0 & = 2x^{2}+10x-100 \\ 0 & = \left( x-5 \right)\left( x+10 \right) \\ & x=5\ \text{atau}\ x=-10 \\ \end{align}$
Karena $x$ adalah ukuran panjang maka $x=-10$ tidak memenuhi, sehingga luas trapesium akan maksimum saat $x=5$.
Untuk $x=5$ maka:
$ \begin{align} cos\ \theta & = \dfrac{BF}{AB} \\ & = \dfrac{5}{10}= \dfrac{1}{2} \\ \theta & = 60^{\circ} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 60^{\circ}$
62. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*
Soal LengkapJika grafik fungsi $y=x+\dfrac{1}{x}$ mencapai maksimum di titik $\left(x_{0},y_{0} \right)$ maka $ x_{0}+y_{0} =\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align} f(x) & = x+\dfrac{1}{x} \\ & = x+x^{-1} \\ f'(x) & = 1-x^{-2} \\ & = 1-\dfrac{1}{x^{2}} \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 1-\dfrac{1}{x^{2}} \\ 0 & = \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}} \\ 0 & = x^{2}-1 \\ 0 & = \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =1\ \text{atau}\ x =-1 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=1$ atau $x=-1$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 1-x^{-2} \\ f''(x) & = 1+2x^{-3} \\ \hline f''(1) & = 1+2(1)^{-3}=3 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(1) \\ f''\left( -1 \right) & = 1+2(-1)^{-3}=-1 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maximum}\ f\left( -1 \right) \\ \end{align}$
Nilai maksimum $f(-1)$ adalah:
$\begin{align} f(x) & = x+\dfrac{1}{x} \\ f(-1) & = (-1)+\dfrac{1}{(-1)} \\ & = -1 -1 = -2 \end{align}$
Mencapai maksimum di titik $\left(-1,-2 \right)$ maka $ -1-2 =-3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -3$
63. Soal SIMAK UI 2010 Kode 204 |*
Soal LengkapSebuah tempat air terbuat dari plat baja yang berbentuk separuh tabung (sesuai gambar). Bagian atas terbuka dan kapasitasnya $125\pi$ liter. Agar bahan pembuatannya sehemat mungkin, nilai $h=\cdots \text{meter}$.$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 50 \\ (E)\ & 100 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Volume tabung adalah $V_{T}=\pi r^{2}t$ sehingga untuk separuh tabung dengan tinggi $h$ maka volume adalah:
$\begin{align} V_{\frac{1}{2}T} & = \dfrac{1}{2} \cdot \pi r^{2}h \\ 125\pi & = \dfrac{1}{2} \cdot \pi r^{2}h \\ \dfrac{250}{r^{2}} & = h \end{align}$
Luas bahan yang diperlukan untuk membuat separuh tabung adalah luas setengah selimut tabung ditambah dua kali luas setengah lingkaran
$\begin{align} L & =\dfrac{1}{2} \cdot 2\pi r h + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \pi r^{2} \\ L & = \pi r h + \pi r^{2} \\ \hline & h = \dfrac{250}{r^{2}} \\ \hline L & = \pi r \cdot \dfrac{250}{r^{2}} + \pi r^{2} \\ & = 250 \pi r^{-1} + \pi r^{2} \\ \end{align}$
Untuk mendapatkan Luas $L$ minimum kita tentukan dengan menggunakan turunan pertama $L'=0$, sehingga dapat kita tuliskan
$\begin{align} L' & = 0 \\ -250 \pi r^{-2}+2 \pi r & = 0 \\ 2 \pi r & = 250 \pi r^{-2} \\ r & = 125 r^{-2} \\ r^{3} & = 125 \\ r & = 5 \\ \hline h & = \dfrac{250}{r^{2}} = \dfrac{250}{5^{2}} \\ & = \dfrac{250}{25}=10 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 10$
64. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 |*
Soal LengkapSebuah akuarium memiliki dasar dan sisi-sisi yang berbentuk persegi panjang dan tidak memiliki tutup. Volume dari akuarium adalah $4\ m^{3}$. Lebar dari dasar akuarium adalah $1\ m$. Untuk pembuatan dasar akuarium diperlukan biaya sebesar $Rp10.000,00$ per $m^{2}$, sedangkan untuk sisi-sisinya diperlukan biaya sebesar $Rp5.000,00$ per $m^{2}$. Biaya minimal yang diperlukan untuk membuat sebuah akuarium adalah...
$\begin{align} (A)\ & Rp20.000,00 \\ (B)\ & Rp40.000,00 \\ (C)\ & Rp50.000,00 \\ (D)\ & Rp60.000,00 \\ (E)\ & Rp80.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Akuarium kita ilustrasikan seperti gambar berikut:
Volume akuarium adalah $V=p \cdot l \cdot t$, untuk lebar $1\ m$ dan volume $4\ m^{3}$ berlaku:
$\begin{align} V & = p \cdot l \cdot t \\ 4 & = p \cdot 1 \cdot t \\ 4 & = pt \end{align}$
Biaya pembuatan dasar aquarium $10.000,00$ per $m^{2}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} B_{dasar} & = p \cdot l \cdot 10.000 \\ & = p \cdot 1 \cdot 10.000 \\ & = 10.000p \end{align}$
Biaya pembuatan sisi-sisi aquarium $5.000,00$ per $m^{2}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} B_{sisi} & = 2 \cdot l \cdot t \cdot 5.000 + 2 \cdot p \cdot t \cdot 5.000 \\ & = 2 \cdot 1 \cdot t \cdot 5.000 + 10.000pt \\ & = 10.000t + 10.000pt \\ \end{align}$
Biaya total pembuatan aquarium adalah:
$\begin{align} B_{T} & = B_{dasar} + B_{sisi} \\ & = 10.000p + 10.000t + 10.000pt \\ \hline & 4 = pt \rightarrow p=\frac{4}{t} \\ \hline & = 10.000 \cdot \dfrac{4}{t} + 10.000t + 10.000t \cdot \dfrac{4}{t} \\ & = \dfrac{40.000}{t} + 10.000t + 40.000 \\ & = 40.000t^{-1} + 10.000t + 40.000 \end{align}$
Untuk mendapatkan biaya minimum kita gunakan turunan pertama $B'_{T}=0$
$\begin{align} B_{T} & = 40.000t^{-1} + 10.000t + 40.000 \\ B'_{T} & = -40.000t^{-2} + 10.000 \\ \hline B'_{T} & = 0 \\ 0 & = -40.000t^{-2} + 10.000 \\ 40.000t^{-2} & = 10.000 \\ t^{2} & = 4 \\ t & = \pm 2 \end{align}$
Karena $t$ adalah ukuran tinggi sehingga $t=-2$ tidak memenuhi. Biaya minimum tercapai saat $t=2$,
$\begin{align} B_{T} & = 40.000t^{-1} + 10.000t + 40.000 \\ & = 40.000(2)^{-1} + 10.000(2) + 40.000 \\ & = 20.000 + 20.000t + 40.000 \\ & = 80.000 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 80.000$
65. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*
Soal LengkapSebuah partikel bergerak sepanjang sumbu $t$ dan posisi partikel di setiap saat adalah $s(t)=2t^{3}-24t^{2}+90t+7$, $t \geq 0$. Kecepatan partikel ini positif bilamana $t$ memenuhi..
$\begin{align} (A)\ & 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5 \\ (B)\ & 3 \lt t \lt 5 \\ (C)\ & 0 \leq t \lt 5 \\ (D)\ & t \geq 0 \\ (E)\ & t=0\ \text{atau}\ t=5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan fungsi kecepatan selalu positif dapat kita gunakan aturan turunan pertama dari fungsi $s(t)$, dimana:
$\begin{align}
v(t) & = s'(t) \\ & = 6t^{2}-48t+90
\end{align}$
Nilai kecepatan selalu positif, berarti $v(t) = 6t^{2}-48t+90 \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} v(t) & \gt 0 \\ 6t^{2}-48t+90 & \gt 0 \\ 6 \left( t^{2}- 8t+ 15 \right) & \gt 0 \\ 6 \left( t-5 \right) \left( t-3 \right) & \gt 0 \\ t \lt 3\ \text{atau}\ t \gt 5 & \end{align}$
Karena $t \geq 0$ maka yang nilai $t$ yang memenuhi adalah $0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$
66. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*
Soal LengkapDiketahui $f\left(x \right)=\sqrt{x^{2}-ax+b}$. Jika $f\left( 1 \right)=f'\left( 1 \right)=2$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -9 \\ (B)\ & -7 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f\left(x \right) & = \sqrt{x^{2}-ax+b} \\ f\left( 1 \right) & = \sqrt{(1)^{2}-a(1)+b} \\ 2 & = \sqrt{1-a+b} \\ 4 & = 1-a+b \\ 3 & = -a+b \\ \hline f\left( x \right) & = \sqrt{x^{2}-ax+b} \\ f'\left( x \right) & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x^{2}-ax+b}} \cdot \left( 2x -a \right) \\ f'\left( 1 \right) & = \dfrac{\left( 2(1) -a \right)}{2 \sqrt{(1)^{2}-a(1)+b}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{2 \sqrt{ 1-a+b}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{2 \sqrt{ 1+3}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{4} \\ 8 & = 2-a \rightarrow a=-6 \\ \hline 3 & = -a+b \\ 3 & = 6+b \rightarrow b=-3 \end{align}$
Nilai $a+b=-9$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -9$
67. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*
Soal LengkapDiberikan bilangan positif $m$ dan $n$. Jika $mx+ny=1$, maka nilai maksimum $xy$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4mn} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2mn} \\ (C)\ & \dfrac{1}{mn} \\ (D)\ & \dfrac{2}{mn} \\ (E)\ & \dfrac{4}{mn} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Dari persamaan $mx+ny=1$ dapat kita peroleh $y=\frac{1}{n}\left( 1-mx \right)$.
Hasil perkalian $xy$ kita misalkan dengan $N$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} N & = xy \\ & = x \cdot \dfrac{1}{n}\left( 1-mx \right) \\ & = \dfrac{x}{n}-\dfrac{mx^{2}}{n} \\ N'& = \dfrac{1}{n}-\dfrac{2mx}{n} \\ \hline N' & = 0 \\ 0 & = \dfrac{1}{n}-\dfrac{2mx}{n} \\ 0 & = 1 - 2mx \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x = \dfrac{1}{2m} \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $N=xy$ akan maksimum/minimum di $x=\dfrac{1}{2m}$ (*silahkan diuji dengan menggunakan turunan kedua apakah benar $x$ pembuat maksimum).
Nilai maksimumnya adalah:
$\begin{align} xy_{max} & = \dfrac{1}{2m} \cdot \frac{1}{n}\left( 1-mx \right) \\ & = \dfrac{1}{2m} \cdot \frac{1}{n}\left( 1-m \cdot \frac{1}{2m} \right) \\ & = \dfrac{1}{2mn} \left( 1- \dfrac{1}{2 } \right) \\ & = \dfrac{1}{4mn} \end{align}$
Sebagai alternatif kreatif:
$\begin{align} \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{2} & \geq 0 \\ a+b-2\sqrt{ab} & \geq 0 \\ a+b & \geq 2\sqrt{ab} \\ \hline mx+ny & \geq 2\sqrt{mx \cdot ny} \\ 1 & \geq 2\sqrt{mxny} \\ 1 & \geq 4 mxny \\ \dfrac{1}{4mn} & \geq xy \\ xy & \leq \dfrac{1}{4mn} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{4mn}$
68. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*
Soal LengkapJika garis singgung kurva $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ di titik $ \left(a,b \right) $ mempunyai gradien $15$, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah...
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -4 \\ (D)\ & -6 \\ (E)\ & -8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $\left(a,b \right)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga Kurva $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ memppunyai gradien $m=15$ di $ \left(a,b \right) $ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ 15 & = 3x^{2}-6x-9 \\ 15 & = 3(a)^{2}-6(a)-9 \\ 0 & = 3a^{2}-6a-24 \\ 0 & = a^{2}-2a-8 \\ 0 & = \left(a-4 \right)\left(a+2 \right) \\ & a=4\ \text{atau}\ a=-2 \end{align}$
Untuk $ a=4=x$ maka $b=y=(4)^{3} - 3(4)^{2} - 9(4)=-20$.
Nilai $a+b=-16$
Untuk $ a=-2=x$ maka $b=y=(-2)^{3} - 3(-2)^{2} - 9(-2)=-2$.
Nilai $a+b=-4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -4$
69. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*
Soal LengkapDiketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f\left( x \right)=\left( 2x+1 \right)^{5}$ dan $h =fog$, jika $g\left( 5 \right)=-1 $ dan $g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 $, maka $h'\left( 5 \right)= \cdots$
$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 25 \\ (C)\ & 50 \\ (D)\ & 60 \\ (E)\ & 120 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan tentang fungsi komposisi dan fungsi invers, yaitu $\left( fog \right)(x)=f \left( g(x) \right)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} h &= fog \\ h \left( x \right) &= f \left( g(x) \right) \\ h' \left( x \right) &= f' \left( g(x) \right) \cdot g'\left( x \right) \\ h' \left( 5 \right) &= f' \left( g(5) \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ \end{align}$
$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \left( 2x+1 \right)^{5} \\ f'\left( x \right)\ &=5 \left( 2x+5 \right)^{5-1} \cdot \left( 2 \right) \\ f'\left( -1 \right)\ &=5 \left( 2(-1)+1 \right)^{4} \cdot \left( 2 \right) \\ &=10 \cdot \left( -1 \right)^{4} = 10 \end{align}$
$\begin{align} g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right) &= 2x+2 \\ \hline \dfrac{x+1}{x-1} &= 5 \\ x+1 &= 5x-5 \\ 1+5 &= 5x-x \\ x &= \frac{6}{4}= \frac{3}{2} \\ \hline g'\left( 5 \right) &= 2 \left( \dfrac{3}{2} \right)+2 \\ &= 3+2 =5 \end{align}$
$\begin{align} h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ &= 10 \cdot 5 \\ &= 50 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 50$
70. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*
Soal LengkapDiberikan $f(x)=\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right)$. Jika $f'(0)=3$ dan $f'(-1)=10$, maka $f'\left( -\frac{1}{2} \right) =\cdots $
$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{15}{4} \\ (B)\ & -\dfrac{13}{4} \\ (C)\ & -\dfrac{11}{4} \\ (D)\ & -\dfrac{9}{4} \\ (E)\ & -\dfrac{7}{4} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sifat turunan fungsi yang mungkin dapat membantu salah satunya adalah $f\left( x \right) = u \left( x \right) \cdot v \left( x \right)$ turunan pertamanya adalah $f'\left( x \right) = u' \left( x \right) \cdot v \left( x \right)+u \left( x \right) \cdot v' \left( x \right)$.
$\begin{align} f\left( x \right) & = \left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right) \\ f'\left( x \right) & = \left( 2ax +b \right) \left( x^{2} +x \right)+\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( 2x + 1 \right) \\ \hline f'\left( 0 \right) & = \left( 2a(0) +b \right) \left( (0)^{2} + (0) \right)+\left( a(0)^{2}+b(0)+c \right) \left( 2(0) + 1 \right) \\ 3 & = \left( 0 +b \right) \left( 0 \right)+\left( 0+0+c \right) \left( 1 \right) \\ 3 & = c \\ \hline f'\left( -1 \right) & = \left( 2a(-1) +b \right) \left( (-1)^{2} + (-1) \right)+\left( a(-1)^{2}+b(-1)+c \right) \left( 2(-1) + 1 \right) \\ 10 & = \left( -2a+b \right) \left( 0 \right)+\left( a -b +c \right) \left( -1 \right) \\ 10 & = \left( a -b +3 \right) \left( -1 \right) \\ -10 & = a -b +3 \\ -13 & = a -b \\ \hline f'\left( -\frac{1}{2} \right) & = \left( 2a\left( -\frac{1}{2} \right) +b \right) \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^{2} + \left( -\frac{1}{2} \right) \right)+ \\ &\ \ \ \left( a\left( -\frac{1}{2} \right)^{2}+b\left( -\frac{1}{2} \right)+c \right) \left( 2\left( -\frac{1}{2} \right) + 1 \right) \\ & = \left( -a+b \right) \left( \frac{1}{4} -\frac{1}{2} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( -1 + 1 \right) \\ & = -\left( a-b \right) \left( -\frac{1}{4} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( 0 \right) \\ & = -\left( -13 \right) \left( -\frac{1}{4} \right) \\ & = -\dfrac{13}{4} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{13}{4}$
71. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*
Soal LengkapJika $m$ dan $M$ berturut-turut menyatakan nilai minimum relatif dan maksimum relatif fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+a$ dengan $M+m=3$, maka $f(2)=\cdots $
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Dari fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+a$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f'(x) & = 6x^{2}-6x \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 6x^{2}-6x \\ 0 & = 6x \left( x - 1 \right) \\ & x=0\ \text{atau}\ x=1 \\ \hline f''(x) & = 12x -6 \\ f''(0) & = -6 \lt 0 \longrightarrow f(0)=M \\ f''(1) & = 6 \gt 0 \longrightarrow f(1)=m \end{align} $
$\begin{align} f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f(0) & = a \\ f(1) & = -1+a \\ m+M & = 3 \\ f(1)+f(0) & = 3 \\ -1+a+a & = 3 \\ 2a & = 4\ \longrightarrow a=2 \\ \hline f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+2 \\ f(2) & = 2(2)^{3}-3(2)^{2}+2 \\ & = 16-12+2=6 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$
72. Soal SPMB 2003 Regional I |*
Soal LengkapJika gambar di bawah ini adalah grafik $y=\dfrac{df(x)}{dx}$, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi $f(x)$...$\begin{align} (A)\ & \text{mencapai nilai maksimum di}\ x=1 \\ (B)\ & \text{mencapai nilai minimum di}\ x=-1 \\ (C)\ & \text{naik pada interval}\ -\infty \lt x \lt 1 \\ (D)\ & \text{selalu memotong sumbu}\ y\ \text{di titik}\ \left( 0,-3 \right) \\ (E)\ & \text{merupakan fungsi kuadrat} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, gambar di atas grafik fungsi kuadrat dimana grafik tersebut adalah $y=\dfrac{df(x)}{dx}$ atau turunan pertama dari fungsi $f(x)$, sehingga fungsi $f(x)$ belum diketahui.
Dengan menggunakan catatan fungsi kuadrat, dapat kita ketahui bahwa turunan pertama $f(x)$ adalah:
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik puncak $(1,4)$:
$y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
$y=a\left (x -1\right)^{2}+4$
langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(0, 3)$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -1\right)^{2}+4 \\ 3 &= a\left (0 -1 \right)^{2}+4 \\ 3 &= a+4\ \longrightarrow a=-1 \end{align}$
Setelah kita peroleh nilai $a=-1$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -1\right)^{2}+4 \\ y &= -1 \left ( x^{2}-2x+1 \right) +4 \\ y &= -x^{2}+2x-1 +4 \\ y &= -x^{2}+2x+3 \end{align}$
Kita sudah peroleh $y=\dfrac{df(x)}{dx}=-x^{2}+2x+3$ atau $f'(x)=-x^{2}+2x+3$.
Untuk $f'(x)=-x^{2}+2x+3$ maka $f(x)=-\dfrac{1}{3}x^{3}+ x^{2}+3x+c$, ini memastikan pilihan $(E)$ dan $(D)$ salah.
Fungsi $f(x)$ naik pada saat $f'(x) \gt 0$, maka:
$\begin{align}
-x^{2}+2x+3 & \gt 0 \\ x^{2}-2x-3 & \lt 0 \\ \left ( x+1 \right)\left ( x-3 \right) & \lt 0 \\ x=-1\ \text{atau}\ x=3 & \\ \end{align}$
Dari hasil di atas fungsi $f(x)$ naik pada saat $-1 \lt x \lt 3$, ini memastikan pilihan $(C)$ salah.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align} f'(x) & = 0 \\ -x^{2}+2x+3 & = 0 \\ \left ( x+1 \right)\left ( x-3 \right) & = 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} & \\ x =-1\ \text{atau}\ x =3 & \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=-1$ atau $x=3$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = -x^{2}+2x+3 \\ f''(x) & = -2x +2 \\ \hline f''(-1) & = -2(-1)+2=4 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(-1) \\ f''(3) & = -2(3)+2=-4 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(3) \end{align}$
ini memastikan pilihan $(A)$ salah dan $(B)$ benar.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \text{mencapai nilai minimum di}\ x=-1$
73. Soal SPMB 2004 Regional III |*
Soal LengkapPersegi panjang $PQRS$ terletak pada segitiga siku-siku $PTU$. Jika $PS=4$ dan $PQ=3$, maka luas minimum $\bigtriangleup PTU$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 16 \\ (B)\ & 18 \\ (C)\ & 20 \\ (D)\ & 22 \\ (E)\ & 24 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita misalkan pada gambar $US=y$ dan $QT=x$, maka dapat kita peroleh:
Dari gambar di atas luas $\bigtriangleup PTU$ dapat kita hitung dengan dua cara yaitu:
$\begin{align} \left[ PTU \right] &= \left[ PTU \right] \\ [PQRS]+[TQR]+[RSU] &= \dfrac{1}{2} \times PT \times PU \\ 12 + \dfrac{1}{2} \times x \times 4 + \dfrac{1}{2} \times 3 \times y &= \dfrac{1}{2}\left( 3+x \right)\left( 4+y \right) \\ 12 + 2x + \dfrac{3}{2}y &= \dfrac{1}{2}\left( 12+3y+4x+xy \right) \\ \hline 24 + 4x + 3y &= 12+3y+4x+xy \\ 12 &= xy \\ \dfrac{12}{x} &= y \end{align}$
Luas minimum $\bigtriangleup PTU$ adalah:
$\begin{align} L_{PTU} &= 12 + 2x + \dfrac{3}{2}y \\ &= 12 + 2x + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{12}{x} \\ &= 12+ 2x + \dfrac{18}{x} \\ &= 12+ 2x + 18x^{-1} \\ L_{PTU}' &= 2-18x^{-2} \\ \hline L_{PTU}' &= 0 \\ 2-18x^{-2} &= 0 \\ 2 &= 18x^{-2} \\ 2x^{2} &= 18 \\ x^{2} &= 9 \longrightarrow x= \pm 3 \end{align}$
Saat $L_{PTU}'= 0$ kita peroleh $x=3$, sehingga $x=3$ adalah pembuat $L_{PTU}$ minimum.
$\begin{align} L_{PTU} &= 12+ 2x + 18x^{-1} \\ &= 12+ 2(3) + 18(3)^{-1} \\ &= 12+ 6+ 18 \cdot \dfrac{1}{3} \\ &= 12+ 6 + 6 = 24 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 24$