PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Untuk bilangan real $x$ dan $a \geq 0$, pertidaksamaan nilai mutlak dapat kita tuliskan $\left| x \right| \neq a$, yang dapat dibagi menjadi empat bagian besar, yaitu $\left| x \right| \lt a$, $\left| x \right| \leq a$, $\left| x \right| \gt a$, atau $\left| x \right| \geq a$
Kita coba analisa satu bentuk yaitu pertidaksamaan $\left| x \right| \lt a$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak kita peroleh $\left| x \right|= x$ saat $x \geq 0$ dan $\left| x \right|=-x$ saat $x \lt 0$.
Karena nilai $x$ berada pada dua kemungkinan, sehingga pertidaksamaan $\left| x \right| \lt a$ dapat kita jabarkan menjadi $x \lt a$ dan $x \gt -a $.
Dalam garis bilangan dapat kita gambarkan:
Himpunan penyelesaian dari $\left| x \right| \lt a$ adalah $-a \lt x \lt a$
Contoh: himpunan penyelesaian dari $\left| x \right| \leq 5$ adalah nilai $x$ yang memenuhi untuk $x \lt 5$ dan $x \gt -5$.
Himpunan penyelesaian dari $\left| x \right| \lt 5$ adalah $-5 \lt x \lt 5$
Dari penjabaran sederhana di atas dan untuk pertidaksamaan nilai mutlak bentuk lainnya dapat dilakukan hal yang sama.
Secara umum dapat kita tuliskan, untuk sebuah fungsi $f(x)$ dan $a \geq 0$, bentuk pertidaksamaan nilai mutlak dan himpunan penyelesaiannya sebagai berikut:
- Jika $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
- Jika $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$
- Jika $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
- Jika $\left| f(x) \right| \geq a$ maka $f(x) \leq -a$ atau $f(x) \geq a$
Dengan menggunakan sifat $\left| f(x) \right| = f^{2}(x)$ dapat juga dikembaangkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak menjadi:
- Jika $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $ f^{2}(x) \lt a^{2}$
- Jika $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $ f^{2}(x) \leq a^{2}$
- Jika $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $ f^{2}(x) \gt a^{2}$
- Jika $\left| f(x) \right| \geq a$ maka $ f^{2}(x) \geq a^{2}$
- Jika $\left| f(x) \right| \lt \left| g(x) \right|$ maka $ f^{2}(x) \lt g^{2}(x)$
- Jika $\left| f(x) \right| \leq \left| g(x) \right|$ maka $ f^{2}(x) \leq g^{2}(x)$
- Jika $\left| f(x) \right| \gt \left| g(x) \right|$ maka $ f^{2}(x) \gt g^{2}(x)$
- Jika $\left| f(x) \right| \geq \left| g(x) \right|$ maka $ f^{2}(x) \geq g^{2}(x)$
Sifat pertidaksamaan nilai mutlak dalam bentuk pecahan
$ \begin{align}
\dfrac{\left| f(x) \right|}{\left| g(x) \right|} & \lt a \\
\left| f(x) \right| & \lt a \cdot \left| g(x) \right| \\
\left| f(x) \right|- a \cdot \left| g(x) \right| & \lt 0 \\
f^{2}(x) - a \cdot g^{2}(x) & \lt 0 \\
\left[ f(x) + \sqrt{a} \cdot g(x) \right] \left[ f(x) - \sqrt{a} \cdot g(x) \right] & \lt 0 \\
\hline \dfrac{\left| f(x) \right|}{\left| g(x) \right|} & \gt a \\
\left| f(x) \right| & \gt a \cdot \left| g(x) \right| \\
\left| f(x) \right|- a \cdot \left| g(x) \right| & \gt 0 \\
f^{2}(x) - a \cdot g^{2}(x) & \gt 0 \\
\left[ f(x) + \sqrt{a} \cdot g(x) \right] \left[ f(x) - \sqrt{a} \cdot g(x) \right] & \gt 0 \\
\end{align} $
Pada pertidaksamaan ini dapat dilakukan perkalian silang karena pada bentuk ini nilai penyebut lebih dari nol sehingga untuk semua nilai $x$ tidak akan merubah tanda pertidaksamaan.
Soal Latihan dan Pembahasan Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Untuk lebih mantap lagi dalam menggunakan beberapa sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak dalam menyelesaikan soal, diharapkan kita sudah bisa menggunakan beberapa sifat-sifat pertidaksamaan secara umum. Mari kita coba simak beberapa soal latihan berikut:
1. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 3x-6 \right| \leq 18$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -8\ \text{atau}\ x \geq 4 \\
(B)\ & -8\ \leq x \leq 4 \\
(C)\ & x \leq -4\ \text{atau}\ x \geq 8 \\
(D)\ & -4\ \leq x \leq 8 \\
(E)\ & 4\ \leq x \leq 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$
$ \begin{align}
\left| 3x-6 \right| & \leq 18 \\
-18 \leq 3x-6 & \leq 18 \\
-18+6 \leq 3x-6+6 & \leq 18+6 \\
-12 \leq 3x & \leq 24 \\
-12 \cdot \dfrac{1}{3} \leq 3x \cdot \dfrac{1}{3} & \leq 24 \cdot \dfrac{1}{3} \\
-4 \leq x & \leq 8 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $f^{2}(x) \leq a^{2}$
$\begin{align}
\left| 3x-6 \right| & \leq 18 \\
\left( 3x-6 \right)^{2} & \leq 18^{2} \\
\left( x-2 \right)^{2} & \leq 6^{2} \\
x^{2}-4x+4 & \leq 36 \\
x^{2}-4x-32 & \leq 0 \\
\left(x-8 \right) \left(x+4 \right) & \leq 0 \\
-4 \leq x \leq 8 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -4 \leq x \leq 8$
2. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 5x+2 \right| \leq 4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -6\ \text{atau}\ x \geq 2 \\
(B)\ & -6\ \leq x \leq 2 \\
(C)\ & x \leq -\frac{6}{5}\ \text{atau}\ x \geq -\frac{2}{5} \\
(D)\ & -\frac{6}{5}\ \leq x \leq \frac{2}{5} \\
(E)\ & \frac{2}{5}\ \leq x \leq 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$
$ \begin{align}
\left| 5x+2 \right| & \leq 4 \\
-4 \leq 5x+2 & \leq 4 \\
-4-2 \leq 5x+2-2 & \leq 4-2 \\
-6 \leq 5x & \leq 2 \\
-6 \cdot \dfrac{1}{5} \leq 5x \cdot \dfrac{1}{5} & \leq 2 \cdot \dfrac{1}{5} \\
-\dfrac{6}{5} \leq x & \leq \dfrac{2}{5} \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $f^{2}(x) \leq a^{2}$
$\begin{align}
\left| 5x+2 \right| & \leq 4 \\
\left( 5x+2 \right)^{2} & \leq 4^{2} \\
25x^{2}+20x+4 & \leq 16 \\
25x^{2}+20x-12 & \leq 0 \\
\left(5x+6 \right) \left(5x-2 \right) & \leq 0 \\
-\dfrac{6}{5} \leq x \leq \dfrac{2}{5} & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\frac{6}{5}\ \leq x \leq \frac{2}{5} $
3. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 2x+5 \right| \gt 7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt -6\ \text{atau}\ x \gt 1 \\
(B)\ & -6\ \lt x \lt 1 \\
(C)\ & x \leq -5\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(D)\ & -5\ \lt x \lt 2 \\
(E)\ & 4\ \lt x \lt 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| 2x+5 \right| & \gt 7 \\
2x+5 \lt -7\ \text{atau}\ & 2x+5 \gt 7 \\
2x \lt -7-5\ \text{atau}\ & 2x \gt 7-5 \\
2x \lt -12\ \text{atau}\ & 2x \gt 2 \\
x \lt -\frac{12}{2} \ \text{atau}\ & x \gt \frac{2}{2} \\
x \lt -6 \ \text{atau}\ & x \gt 1 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f^{2}(x) \gt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 2x+5 \right| & \gt 7 \\
\left( 2x+5 \right)^{2} & \gt 7^{2} \\
4x^{2}+20x+25 & \gt 49 \\
4x^{2}+20x-24 & \gt 0 \\
x^{2}+5x-6 & \gt 0 \\
\left(x+6 \right) \left(x-1 \right) & \gt 0 \\
x \lt -6 \ \text{atau}\ & x \gt 1 \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \lt -6 \ \text{atau}\ x \gt 1$
4. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 4x-6 \right| \gt 8$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 6 \\
(B)\ & -2\ \lt x \lt 6 \\
(C)\ & x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt \frac{7}{2} \\
(D)\ & -\frac{1}{2}\ \lt x \lt \frac{7}{2} \\
(E)\ & 2\ \lt x \lt 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| 4x-6 \right| & \gt 8 \\
4x-6 \lt -8\ \text{atau}\ & 4x-6 \gt 8 \\
4x \lt -8+6\ \text{atau}\ & 4x \gt 8+5 \\
4x \lt -2\ \text{atau}\ & 4x \gt 14 \\
x \lt \frac{-2}{4}\ \text{atau}\ & x \gt \frac{4}{14} \\
x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ & x \gt \frac{2}{7} \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f^{2}(x) \gt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 4x-6 \right| & \gt 8 \\
\left| 2x-3 \right| & \gt 4 \\
\left( 2x-3 \right)^{2} & \gt 4^{2} \\
4x^{2}-12x+9 & \gt 16 \\
4x^{2}-12x-7 & \gt 0 \\
\left(2x+1 \right) \left(2x-7 \right) & \gt 0 \\
x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ & x \gt \frac{2}{7} \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt \frac{2}{7}$
5. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 8-2x \right| \lt 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt -7 \\
(B)\ & -7\ \lt x \lt -1 \\
(C)\ & x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 7 \\
(D)\ & 1\ \lt x \lt 7 \\
(E)\ & 1\ \lt x \lt 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
$ \begin{align}
\left| 8-2x \right| & \lt 6 \\
-6 \lt 8-2x & \lt 6 \\
-6-8 \lt 8-2x-8 & \lt 6-8 \\
-14 \lt -2x & \lt -2 \\
-14 \cdot \dfrac{-1}{2} \gt 2x \cdot \dfrac{-1}{2} & \gt -2 \cdot \dfrac{-1}{2} \\
7 \gt x & \gt 1 \\
1 \lt x & \lt 7 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $f^{2}(x) \lt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 8-2x \right| & \lt 6 \\
\left( 8-2x \right)^{2} & \lt 6^{2} \\
\left( 4-x \right)^{2} & \lt 3^{2} \\
x^{2}-8x+16 & \lt 9 \\
x^{2}-8x+7 & \lt 0 \\
\left(x-1 \right) \left(x-7 \right) & \lt 0 \\
1 \lt x \lt 7 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1\ \lt x \lt 7$
6. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 6-3x \right| \lt 12$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 6 \\
(B)\ & -2\ \lt x \lt 6 \\
(C)\ & x \lt -6\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(D)\ & -6\ \lt x \lt 2 \\
(E)\ & 2\ \lt x \lt 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
$ \begin{align}
\left| 6-3x \right| & \lt 12 \\
-12 \lt 6-3x & \lt 12 \\
-12-6 \lt 6-3x-6 & \lt 12-6 \\
-18 \lt -3x & \lt 6 \\
-18 \cdot \dfrac{-1}{3} \gt 3x \cdot \dfrac{-1}{3} & \gt 6 \cdot \dfrac{-1}{3} \\
6 \gt x & \gt -2 \\
-2 \lt x & \lt 6 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $f^{2}(x) \lt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 6-3x \right| & \lt 12 \\
\left( 6-3x \right)^{2} & \lt 12^{2} \\
\left( 2-x \right)^{2} & \lt 4^{2} \\
x^{2}-4x+4 & \lt 16 \\
x^{2}-4x12 & \lt 0 \\
\left(x-6 \right) \left(x+2 \right) & \lt 0 \\
-2 \lt x \lt 6 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2 \lt x \lt 6$
7. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| x-6 \right| \leq 9$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3\ \leq x \leq 15 \\
(B)\ & -2\ \leq x \leq 8 \\
(C)\ & x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 15 \\
(D)\ & 4\ \leq x \leq 12 \\
(E)\ & x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$
$ \begin{align}
\left| x-6 \right| & \leq 9 \\
-9 \leq x-6 & \leq 9 \\
-9+6 \leq x-6+6 & \leq 9+6 \\
-3 \leq x & \leq 15 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $f^{2}(x) \leq a^{2}$
$\begin{align}
\left| x-6 \right| & \leq 9 \\
\left( x-6 \right)^{2} & \leq 9^{2} \\
x^{2}-12x+36 & \leq 81 \\
x^{2}-12x-45 & \leq 0 \\
\left(x-15 \right) \left(x+3 \right) & \leq 0 \\
-3 \leq x \leq 15 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3\ \leq x \leq 15$
8. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| x+2 \right| \gt 4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2\ \lt x \lt 5 \\
(B)\ & -6\ \lt x \lt 2 \\
(C)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 5 \\
(D)\ & 3\ \lt x \lt 10 \\
(E)\ & x \lt -6\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| x+2 \right| & \gt 4 \\
x+2 \lt -4\ \text{atau}\ & x+2 \gt 4 \\
x \lt -4-2\ \text{atau}\ & x \gt 4-2 \\
x \lt -6\ \text{atau}\ & x \gt 2 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f^{2}(x) \gt a^{2}$
$\begin{align}
\left| x+2 \right| & \gt 4 \\
\left( x+2 \right)^{2} & \gt 4^{2} \\
x^{2}+4x+4 & \gt 16 \\
x^{2}+4x-12 & \gt 0 \\
\left(x+6 \right) \left(x-2 \right) & \gt 0 \\
x \lt -6\ \text{atau}\ & x \gt 2 \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -6\ \text{atau}\ x \gt 2$
9. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Dalam rangka menjamin kelancaran lalu lintas arus mudik lebaran, Departemen Perhubungan mengeluarkan kebijakan kendaraan berat tidak diperkenankan melalui jalan umum pada $3$ hari sebelum dan sesudah lebaran hari pertama. Jika $x$ menyatakan tanggal lebaran hari pertama dan $h$ merupakan tanggal larangan kendaraan berat melalui jalan umum. Jika $x$ dan $h$ berada pada bulan yang sama, maka hubungan $x$ dan $h$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left| h-x \right| \lt 3 \\
(B)\ & \left| x-3 \right| \lt h \\
(C)\ & \left| h-x \right| \gt 3 \\
(D)\ & \left| x-3 \right| \gt h \\
(E)\ & \left| x+3 \right| \lt h \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kendaraan berat tidak diperkenankan melalui jalan umum pada $3$ hari sebelum dan sesudah lebaran hari pertama. Sehingga dengan $x$ menyatakan tanggal lebaran hari pertama dan $h$ merupakan tanggal larangan kendaraan berat melalui jalan umum maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
x-3\ \lt h & \lt x+3 \\
x-3-x\ \lt h-x & \lt x+3-x \\
-3 \ \lt h-x & \lt 3 \\
\left| h-x \right| & \lt 3 \\
\end{align} $
Misal tanggal lebaran hari pertama $(x)$ tanggal $12$.
Tanggal larangan kendaraan berat lewat $(h)$ tanggal $12-3=9$ sampai tanggal $12+3=15$, atau dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
12-3\ \lt h & \lt 12+3 \\
9\ \lt h & \lt 15 \\
\end{align} $
Sebagai catatan: perhitungan ini akan berbeda ketika tanggal awal lebaran di awal bulan atau di akhir bulan yang mengakibatkan $h$ dan $x$ berada pada bulan yang berbeda.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left| h-x \right| \lt 3$
10. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Kecepatan kendaraan pada jalan tol ditetapkan dengan rumus $\left| v – 80 \right| ≤ 15$ dengan $v$ menyatakan kecepatan dalam kilometer per jam. Batas kecepatan terendah dan tertinggi yang diijinkan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \text{Batas tertinggi}\ 90\ \text{dan}\ \text{batas terendah}\ 70 \\
(B)\ & \text{Batas tertinggi}\ 100\ \text{dan}\ \text{batas terendah}\ 75 \\
(C)\ & \text{Batas tertinggi}\ 95\ \text{dan}\ \text{batas terendah}\ 65 \\
(D)\ & \text{Batas tertinggi}\ 90\ \text{dan}\ \text{batas terendah}\ 75 \\
(E)\ & \text{Batas tertinggi}\ 95\ \text{dan}\ \text{batas terendah}\ 70 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kecepatan kendaraan pada jalan tol ditetapkan dengan rumus $\left| v – 80 \right| ≤ 15$. Dengan sifat $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$ dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
\left| v-80 \right| & \leq 15 \\
-15 \leq v-80 & \leq 15 \\
-15+80 \leq v-80+80 & \leq 15+80 \\
65 \leq v & \leq 95 \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \text{Batas tertinggi}\ 95\ \text{dan}\ \text{batas terendah}\ 65$
11. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Produk-produk industri biasanya tidak dapat menjamin ukuran dengan tepat. Ada toleransi kesalahan ukuran yang diijinkan. Sebagai contoh, jika sebuah kaleng alumunium memiliki diameter $8$ cm, maka produk yang diterima berada pada interval $7,9$ sampai $8,1$ cm. Jika maksimum kesalahan diameter $d$ suatu kaleng dibatasi maksimum $0,02$ mm, nyatakan dalam bentuk pertidaksamaan mutlak.
$\begin{align}
(A)\ & \left| d-0,02 \right| \geq 8 \\
(B)\ & \left| d-8 \right| \geq 0,02 \\
(C)\ & \left| d-0,02 \right| \leq 8 \\
(D)\ & \left| d-8 \right| \gt 0,02 \\
(E)\ & \left| d+0,02 \right| \lt 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Toleransi kesalahan ukuran diameter $d$ kaleng dibatasi maksimum $0,02$ mm, sehingga dengan diameter $8$ dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
8-0,02\ \leq d & \leq 8+0,02 \\
8-0,02-8\ \leq d-8 & \leq 8+0,02-8 \\
-0,02 \ \leq d-8 & \leq 0,02 \\
\left| d-8 \right| & \leq 0,02 \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left| d-8 \right| \leq 0,02$
12. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x-12 \right| \lt 5$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2\ \lt x \lt 7 \\
(B)\ & 2\ \lt x \lt 5 \\
(C)\ & x \lt 2\ \text{atau}\ x \gt 5 \\
(D)\ & 7\ \lt x \lt 17 \\
(E)\ & x \lt 7 \text{atau}\ x \gt 17 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
$ \begin{align}
\left| x-12 \right| & \lt 5 \\
-5 \lt x-12 & \lt 5 \\
-5+12 \lt x-12+12 & \lt 5+12 \\
7 \lt x & \lt 17 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $f^{2}(x) \lt a^{2}$
$\begin{align}
\left| x-12 \right| & \lt 5 \\
\left( x-12 \right)^{2} & \lt 5^{2} \\
x^{2}-24x+144 & \lt 25 \\
x^{2}-24x+119 & \lt 0 \\
\left(x-7 \right) \left(x-17 \right) & \lt 0 \\
7 \lt x \lt 17 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 7\ \lt x \lt 17$
13. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| 3x+7 \right| \geq 11$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\frac{4}{3}\ \leq x \leq 6 \\
(B)\ & -6\ \leq x \leq \frac{4}{3} \\
(C)\ & x \leq -6\ \text{atau}\ x \geq \frac{4}{3} \\
(D)\ & \frac{4}{3}\ \lt x \lt 6 \\
(E)\ & x \leq -\frac{4}{3}\ \text{atau}\ x \geq 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \geq a$ maka $f(x) \leq -a$ atau $f(x) \geq a$
$ \begin{align}
\left| 3x+7\right| & \geq 11 \\
3x+7 \leq -11\ \text{atau}\ & 3x+7 \geq 11 \\
3x \leq -11-7\ \text{atau}\ & 3x \geq 11-7 \\
3x \leq -18\ \text{atau}\ & 3x \geq 4 \\
x \leq -\frac{18}{3}\ \text{atau}\ & x \geq \frac{4}{3} \\
x \leq -6\ \text{atau}\ & x \geq \frac{4}{3} \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \geq a$ maka $f^{2}(x) \geq a^{2}$
$\begin{align}
\left| 3x+7 \right| & \geq 11 \\
\left( 3x+7 \right)^{2} & \geq 11^{2} \\
9x^{2}+42x+49 & \geq 121 \\
9x^{2}+42x-72 & \geq 0 \\
3x^{2}+14x-24 & \geq 0 \\
\left(3x-4 \right) \left(x+6 \right) & \geq 0 \\
x \leq -6\ \text{atau}\ & x \geq \frac{4}{3} \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \leq -6\ \text{atau}\ x \geq \frac{4}{3}$
14. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| 5-2x \right| \gt 9$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2\ \lt x \lt 7 \\
(B)\ & -7\ \lt x \lt 2 \\
(C)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 7 \\
(D)\ & -3\ \lt x \lt 5 \\
(E)\ & x \lt -7\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| 5-2x \right| & \gt 9 \\
5-2x \lt -9\ \text{atau}\ & 5-2x \gt 9 \\
-2x \lt -9-5\ \text{atau}\ & -2x \gt 9-5 \\
-2x \lt -14\ \text{atau}\ & -2x \gt 4 \\
x \gt -\frac{14}{-2}\ \text{atau}\ & x \lt \frac{4}{-2} \\
x \gt 7\ \text{atau}\ & x \lt -2 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f^{2}(x) \gt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 5-2x \right| & \gt 9 \\
\left( 5-2x \right)^{2} & \gt 9^{2} \\
4x^{2}-20x+25 & \gt 81 \\
4x^{2}-20x+25 & \gt 81 \\
4x^{2}-20x-56 & \gt 0 \\
x^{2}-5x-14 & \gt 0 \\
\left(x-7 \right) \left(x+2 \right) & \gt 0 \\
x \gt 7\ \text{atau}\ & x \lt -2 \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 7$
15. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| 7-4x \right| \leq 3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\frac{5}{2}\ \leq x \leq 1 \\
(B)\ & -1\ \leq x \leq \frac{5}{2} \\
(C)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq \frac{5}{2} \\
(D)\ & 1\ \leq x \leq \frac{5}{2} \\
(E)\ & x \leq -\frac{5}{2}\ \text{atau}\ x \geq 1 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$
$ \begin{align}
\left| 7-4x \right| & \leq 3 \\
-3 \leq 7-4x & \leq 3 \\
-3-7 \leq 7-4x-7 & \leq 3-7 \\
-10 \leq -4x & \leq -4 \\
-10 \cdot \frac{-1}{4} \geq -4x \cdot \frac{-1}{4} & \geq -4 \cdot \frac{-1}{4} \\
\frac{5}{2} \geq x & \geq 1 \\
1 \leq x & \leq \frac{5}{2} \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $f^{2}(x) \leq a^{2}$
$\begin{align}
\left| 7-4x \right| & \leq 3 \\
\left( 7-4x \right)^{2} & \leq 3^{2} \\
16x^{2}-56x+49 & \leq 9 \\
16x^{2}-56x+40 & \leq 0 \\
2x^{2}-7x+5 & \leq 0 \\
\left(2x-5 \right) \left(x-1 \right) & \leq 0 \\
1 \leq x \leq \frac{5}{2} & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1 \leq x \leq \frac{5}{2}$
16. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x+1 \right| \gt \left| 3x-5 \right|$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1\ \leq x \leq 3 \\
(B)\ & 1\ \leq x \leq 3 \\
(C)\ & x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 3 \\
(D)\ & -3\ \leq x \leq 5 \\
(E)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 3 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $\left| f(x) \right| \gt \left| g(x) \right|$ maka $ f^{2}(x) \gt g^{2}(x)$
$ \begin{align}
\left| x+1 \right| & \gt \left| 3x-5 \right| \\
\left( x+1 \right)^{2} & \gt \left( 3x-5 \right)^{2} \\
x^{2}+2x+1 & \gt 9x^{2}-30x+25 \\
-8x^{2}+32x-24 & \gt 0 \\
x^{2}-4x+3 & \lt 0 \\
\left(x-3 \right) \left(x-1 \right) & \leq 0 \\
1 \leq x \leq 3 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1\ \leq x \leq 3$
17. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x^{2}-x-10 \right| \leq 10$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0\ \leq x \leq 1\ \text{atau}\ 4\ \leq x \leq 5 \\
(B)\ & x\ \leq -2\ \text{atau}\ 3\ \leq x \leq 5\ \text{atau}\ x \gt 8 \\
(C)\ & -2\ \leq x \leq 3\ \text{atau}\ 5\ \leq x \leq 8 \\
(D)\ & -4\ \leq x \leq 0\ \text{atau}\ 1\ \leq x \leq 5 \\
(E)\ & x\ \leq -4\ \text{atau}\ 0\ \leq x \leq 1\ \text{atau}\ x \gt 3 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $ -a \leq f(x) \leq a $
$ \begin{align}
\left| x^{2}-x-10 \right| & \leq 10 \\
-10 \leq x^{2}-x-10 & \leq 10 \\
\end{align}$
Pertidaksamaan kuadrat kita kerjakan dalam dua bagian yaitu:
$ \begin{align}
x^{2}-x-10 & \leq 10 \\
x^{2}-x-10-10 & \leq 0 \\
x^{2}-x-20 & \leq 0 \\
\left(x-5 \right) \left(x+4 \right) & \leq 0 \\
-4 \leq x \leq 5 & \\
\hline x^{2}-x-10 & \geq -10 \\
x^{2}-x-10+10 & \geq 0 \\
x^{2}-x & \geq 0 \\
x\ \left(x-1 \right) & \geq 0 \\
x \leq 0\ \text{atau}\ x \geq 1 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah irisan dari $-4 \leq x \leq 5$ dan $x \leq 0\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah $-4\ \leq x \leq 0$ atau $1\ \leq x \leq 5$. Dalam garis bilangan ilustrasinya seperti berikut ini:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -4\ \leq x \leq 0\ \text{atau}\ 1\ \leq x \leq 5$
18. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x^{2}-6x-4 \right| \gt 12$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\ \lt x \lt 4 \\
(B)\ & x\ \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 8 \\
(C)\ & -2\ \lt x \lt 2\ \text{atau}\ 4\ \lt x \lt 8 \\
(D)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ 2\ \lt x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 8 \\
(E)\ & \text{tidak ada nilai}\ x\ \text{yang memenuhi} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| x^{2}-6x-4 \right| & \gt 12 \\
x^{2}-6x-4 \lt -12\ \text{atau}\ & x^{2}-6x-4 \gt 12 \\
\end{align}$
Pertidaksamaan kuadrat kita kerjakan dalam dua bagian yaitu:
$ \begin{align}
x^{2}-6x-4 & \lt -12 \\
x^{2}-6x-4+12 & \lt 0 \\
x^{2}-6x+8 & \lt 0 \\
\left(x-2 \right) \left(x-4 \right) & \lt 0 \\
2 \lt x \lt 4 & \\
\hline x^{2}-6x-4 & \gt 12 \\
x^{2}-6x-4-12 & \gt 0 \\
x^{2}-6x-16 & \gt 0 \\
\left(x-8 \right)\left(x+2 \right) & \gt 0 \\
x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 8 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah gabungan dari $2 \lt x \lt 4$ dan $x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 8$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \lt -2\ \text{atau}\ 2\ \lt x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 8$
19. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x^{2}-4 \right| \lt 4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2\sqrt{2}\ \lt x \lt 2\sqrt{2} \\
(B)\ & x\ \lt -2\sqrt{2}\ \text{atau}\ x \gt 2\sqrt{2} \\
(C)\ & 0\ \lt x \lt 2\sqrt{2} \\
(D)\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2\sqrt{2} \\
(E)\ & -2\sqrt{2}\ \lt 2\sqrt{2}\ \text{dan}\ x \neq 0 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $ -a \lt f(x) \lt a $
$ \begin{align}
\left| x^{2}-4 \right| & \lt 4 \\
-4 \lt x^{2}-4 & \lt 4 \\
\end{align}$
Pertidaksamaan kuadrat kita kerjakan dalam dua bagian yaitu:
$ \begin{align}
x^{2}-4 & \lt 4 \\
x^{2}-8 & \lt 0 \\
\left(x-2\sqrt{2} \right) \left(x+2\sqrt{2} \right) & \lt 0 \\
-2\sqrt{2} \lt x \lt 2\sqrt{2} & \\
\hline x^{2}-4 & \gt -4 \\
x^{2} & \gt 0 \\
x \neq 0 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah irisan dari $-2\sqrt{2} \lt x \lt 2\sqrt{2}$ dan $x \neq 0$ adalah $-2\sqrt{2} \lt x \lt 2\sqrt{2}$ dan $x \neq 0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2\sqrt{2}\ \lt 2\sqrt{2}\ \text{dan}\ x \neq 0$
20. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| \dfrac{3}{2x-1} \right| \gt 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \lt x \lt \frac{1}{2}\ \text{atau}\ \gt 2 \\
(B)\ & x\ \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(C)\ & -1 \lt x \lt \frac{1}{2}\ \text{atau}\ \frac{1}{2} \lt x \lt 2 \\
(D)\ & -1 \lt x \lt 2 \\
(E)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ \frac{1}{2} \lt x \lt 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak dan manipulasi aljabar seperti berikut.
Agar pecahan $\left| \dfrac{3}{2x-1} \right|$ terdefinisi atau sederhananya mempunyai nilai, maka $2x-1 \neq 0$ atau $x \neq \frac{1}{2}$.
$ \begin{align}
\left| \dfrac{3}{2x-1} \right| & \gt 1 \\
\left| 3 \right| & \gt \left| 2x-1 \right| \\
3^{2} & \gt \left( 2x-1 \right)^{2} \\
9 & \gt 4x^{2}-4x+1 \\
0 & \gt 4x^{2}-4x-8 \\
0 & \gt x^{2}- x-2 \\
0 & \gt \left( x-2 \right) \left(x+1 \right) \\
& -1 \lt x \lt 2 \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 2$ dan $x \neq \frac{1}{2}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1 \lt x \lt \frac{1}{2}\ \text{atau}\ \frac{1}{2} \lt x \lt 2$
21. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| 2x-1 \right|^{2} \gt 6 \left| 2x-1 \right| + 7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \lt x \lt 3 \\
(B)\ & -3 \lt x \lt 4 \\
(C)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 4 \\
(D)\ & 2 \lt x \lt 5 \\
(E)\ & x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 3 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan manipulasi aljabar memisalkan $\left| 2x-1 \right|=p$, sehingga dapat kita tuliskan
$ \begin{align}
\left| 2x-1 \right|^{2} & \gt 6 \left| 2x-1 \right| + 7 \\
p^{2} & \gt 6p + 7 \\
p^{2}-6p-7 & \gt 0 \\
\left( p-7 \right)\left( p+1 \right) & \gt 0 \\
p \lt -1\ \text{atau}\ p \gt 7 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Dari nilai $p$ yang kita peroleh di atas, $p \lt -1$ tidak memenuhi karena $p \geq 0$, sehingga nilai yang kita pakai adalah $p \gt 7$.
Kita kembalikan nilai $p=\left| 2x-1 \right|$, maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
\left| 2x-1 \right| & \gt 7 \\
2x-1 \lt -7\ \text{atau}\ & 2x-1 \gt 7 \\
2x \lt -7+1\ \text{atau}\ & 2x \gt 7+1 \\
2x \lt -6\ \text{atau}\ & 2x \gt 8 \\
x \lt -3\ \text{atau}\ & x \gt 4 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 4 $
22. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x+2 \right| \gt \left| x+2 \right|^{2} - 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \lt x \lt 5 \\
(B)\ & -5 \lt x \lt 1 \\
(C)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 5 \\
(D)\ & 2 \lt x \lt 6 \\
(E)\ & x \lt -5\ \text{atau}\ x \gt 1 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan manipulasi aljabar memisalkan $\left| x+2 \right|=p$, sehingga dapat kita tuliskan
$ \begin{align}
\left| x+2 \right| & \gt \left| x+2 \right|^{2} - 6 \\
p & \gt p^{2} - 6 \\
0 \gt & p^{2} -p -6 \\
0 \gt & \left( p-3 \right)\left( p+1 \right) \\
-1 \lt p \lt 3 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Dari nilai $p$ yang kita peroleh di atas, $p \gt -1$ sudah pasti maka tidak perlu kita hitung lagi karena $p \geq 0$. Nilai yang kita pakai adalah $p \lt 3$ dan kita kembalikan nilai $p=\left| 2x-1 \right|$ semula, maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
\left| x+2 \right| & \lt 3 \\
-3 \lt x+2 & \lt 3 \\
-3-2 \lt x & \lt 3-2 \\
-5 \lt x & \lt 1 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -5 \lt x \lt 1$
23. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| x^{2}- x-1 \right| \gt 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 1\ \text{atau}\ -1\ \lt x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 1 \\
(B)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ 0\ \lt x \lt 2\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(C)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ -1\ \lt x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(D)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ 0\ \lt x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 1 \\
(E)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ 0\ \lt x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| x^{2}- x-1 \right| & \gt 1 \\
x^{2}- x-1 \lt -1\ \text{atau}\ & x^{2}- x-1 \gt 1 \\
\end{align}$
Pertidaksamaan kuadrat kita kerjakan dalam dua bagian yaitu:
$ \begin{align}
x^{2}- x-1 & \lt -1 \\
x^{2}- x-1+1 & \lt 0 \\
x^{2}- x & \lt 0 \\
\left( x \right) \left(x-1 \right) & \lt 0 \\
0 \lt x \lt 1 & \\
\hline x^{2}- x-1 & \gt 1 \\
x^{2}- x-2 & \gt 0 \\
\left(x-2 \right)\left(x+1 \right) & \gt 0 \\
x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah gabungan dari $0 \lt x \lt 1$ dan $x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -1\ \text{atau}\ 0\ \lt x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2$
24. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Penyeesaian pertidaksamaan $\left| x-2 \right|^{2} \lt 4 \left| x-2 \right| + 12$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \lt x \lt 8 \\
(B)\ & -8 \lt x \lt 4 \\
(C)\ & -4 \lt x \lt 8 \\
(D)\ & 0 \lt x \lt 8 \\
(E)\ & -8 \lt x \lt 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan manipulasi aljabar memisalkan $\left| x-2 \right|=m$, sehingga dapat kita tuliskan
$ \begin{align}
\left| x-2 \right|^{2} & \lt 4 \left| x-2 \right| + 12 \\
m^{2} & \lt 4 m + 12 \\
m^{2}-4m-12 & \lt 0 \\
\left( m-6 \right)\left( m+2 \right) & \lt 0 \\
-2 \lt m \lt 6 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Dari nilai $m$ yang kita peroleh di atas, $m \gt -2$ tidak perlu kita analisa karena $m \geq 0$, sehingga nilai yang kita pakai adalah $m \lt 6$.
Kita kembalikan nilai $m=\left| x-2 \right|$, maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
\left| x-2 \right| & \lt 6 \\
-6 \lt x-2 & \lt 6 \\
-6+2 \lt x-2+2 & \lt 6+2 \\
-4 \lt x & \lt 8 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -4 \lt x \lt 8$
25. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Himpunan penyelesaian $\left| \frac{1}{4}x^{2}-10 \right| \lt 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \{ -8 \lt x \lt 8 \} \\
(B)\ & \{ -8 \lt x \lt -2\sqrt{5}\ \text{atau}\ -2\sqrt{5} \lt x \lt 8 \} \\
(C)\ & \{ -4 \lt x \lt 4\ \text{atau}\ x \lt -8\ \text{atau} x \gt 8 \} \\
(D)\ & \{ -2\sqrt{5} \lt x \lt -4\ \text{atau}\ -4 \lt x \lt 2\sqrt{5} \} \\
(E)\ & \{ -8 \lt x \lt -4\ \text{atau}\ 4 \lt x \lt 8 \} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $ -a \lt f(x) \lt a $
$ \begin{align}
\left| \frac{1}{4}x^{2}-10 \right| & \lt 6 \\
-6 \lt \frac{1}{4}x^{2}-10 & \lt 6 \\
-24 \lt x^{2}-40 & \lt 24 \\
\end{align}$
Pertidaksamaan kuadrat kita kerjakan dalam dua bagian yaitu:
$ \begin{align}
x^{2}-40 & \lt 24 \\
x^{2}-64 & \lt 0 \\
\left(x-8 \right) \left(x+8 \right) & \lt 0 \\
-8 \lt x \lt 8 & \\
\hline x^{2}-40 & \gt -24 \\
x^{2} -40+24& \gt 0 \\
x^{2} -16 & \gt 0 \\
\left(x-4 \right) \left(x+4 \right) & \gt 0 \\
x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 4 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah irisan dari $-8 \lt x \lt 8$ dan $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 4$ adalah $-8 \lt x \lt -4$ dan $4 \lt x \lt 8$. Dalam garis bilangan ilustrasinya seperti berikut ini:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \{ -8 \lt x \lt -4\ \text{atau}\ 4 \lt x \lt 8 \}$
26. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| \dfrac{2x+7}{x-1} \right| \geq 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \leq x \leq 8 \\
(B)\ & x\ \leq -8\ \text{atau}\ x \geq -2 \\
(C)\ & -8 \leq x \leq 1\ \text{atau}\ x \gt 1 \\
(D)\ & -2 \leq x \leq 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \leq 8 \\
(E)\ & x \leq -8\ \text{atau}\ -2 \leq x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 1 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak dan manipulasi aljabar seperti berikut.
Agar pecahan $\left| \dfrac{2x+7}{x-1} \right|$ terdefinisi atau sederhananya mempunyai nilai, maka $x-1 \neq 0$ atau $x \neq 1$.
$ \begin{align}
\left| \dfrac{2x+7}{x-1} \right| & \geq 1 \\
\left| 2x+7 \right| & \geq \left| x-1 \right| \\
\left( 2x+7 \right)^{2} & \geq \left( x-1 \right)^{2} \\
4x^{2}+28x+49 & \geq x^{2}-2x+1 \\
3x^{2}+30x+48 & \geq 0 \\
x^{2}+10x+16 & \geq 0 \\
\left( x+2 \right) \left(x+8 \right) & \geq 0 \\
x \leq -8\ \text{atau}\ x \geq -2 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah $x \leq -8\ \text{atau}\ x \geq -2$ dan $x \neq 1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \leq -8\ \text{atau}\ -2 \leq x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 1$
27. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Harga $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x-3 \right|^{2} \lt \left| 2x-6 \right| $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \lt x \lt 5 \\
(B)\ & 3 \lt x \lt 5\ \text{atau}\ x \lt 3 \\
(C)\ & 1 \lt x \lt 3\ \text{atau}\ 3 \lt x \lt 5 \\
(D)\ & 1 \lt x \lt 3\ \text{atau}\ x \gt 5 \\
(E)\ & x \lt 3\ \text{atau}\ x \gt 5 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan manipulasi aljabar memisalkan $\left| x-3 \right|=k$, sehingga dapat kita tuliskan
$ \begin{align}
\left| x-3 \right|^{2} & \lt \left| 2x-6 \right| \\
\left| x-3 \right|^{2} & \lt 2\ \left| x-3 \right| \\
\left| x-3 \right|^{2} \cdot \dfrac{1}{\left| x-3 \right|} & \lt 2\ \left| x-3 \right| \cdot \dfrac{1}{\left| x-3 \right|} \\
\left| x-3 \right| & \lt 2 \\
\left( x-3 \right)^{2} & \lt 2^{2} \\
x^{2}-6x+9 & \lt 4 \\
x^{2}-6x+5 & \lt 0 \\
\left( x-1 \right)\left( x-5 \right) & \lt 0 \\
1 \lt x \lt 5 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Pada soal ini di awal kita kalikan dengan $\dfrac{1}{\left| x-3 \right|}$ sehingga $\left| x-3 \right| \neq 0$ atau $x \neq 3$.
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah $1 \lt x \lt 5$ dan $\left| x-3 \right| \neq 0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1 \lt x \lt 3\ \text{atau}\ 3 \lt x \lt 5$
28. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi untuk pertidaksamaan $\left| 2x+4 \right| \geq 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -5\ \text{atau}\ x \geq 1 \\
(B)\ & -5\ \leq x \leq 1 \\
(C)\ & x \leq -5\ \text{atau}\ x \geq 2 \\
(D)\ & -5\ \leq x \leq 2 \\
(E)\ & 4\ \leq x \leq 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \geq a$ maka $f(x) \leq -a$ atau $f(x) \geq a$
$ \begin{align}
\left| 2x+4 \right| & \geq 6 \\
2x+4 \leq -6\ \text{atau}\ & 2x+4 \geq 6 \\
2x \leq -6-4\ \text{atau}\ & 2x \geq 6-4 \\
2x \leq -10\ \text{atau}\ & 2x \geq 2 \\
x \leq -\frac{10}{2} \ \text{atau}\ & x \geq \frac{2}{2} \\
x \leq -5 \ \text{atau}\ & x \geq 1 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \geq a$ maka $f^{2}(x) \geq a^{2}$
$\begin{align}
\left| 2x+4 \right| & \geq 6 \\
\left( 2x+4 \right)^{2} & \geq 6^{2} \\
4x^{2}+16x+16 & \geq 36 \\
4x^{2}+16x-20 & \geq 0 \\
x^{2}+4x-5 & \geq 0 \\
\left(x+5 \right) \left(x-1 \right) & \geq 0 \\
x \leq -5 \ \text{atau}\ & x \geq 1 \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \leq -5 \ \text{atau}\ x \geq 1$
29. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi untuk pertidaksamaan $\left| x-2 \right| \lt 8$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -6\ \lt x \lt 10 \\
(B)\ & 6\ \lt x \lt 10 \\
(C)\ & x \lt 6\ \text{atau}\ x \gt 10 \\
(D)\ & -10\ \lt x \lt 6 \\
(E)\ & x \lt -6 \text{atau}\ x \gt 10 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
$ \begin{align}
\left| x-2 \right| & \lt 8 \\
-8 \lt x-2 & \lt 8 \\
-8+ 2 \lt x- 2+ 2 & \lt 8+2 \\
-6 \lt x & \lt 10 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $f^{2}(x) \lt a^{2}$
$\begin{align}
\left| x- 2 \right| & \lt 8 \\
\left( x-2 \right)^{2} & \lt 8^{2} \\
x^{2}-4x+ 4 & \lt 64 \\
x^{2}- 4x-60 & \lt 0 \\
\left(x-10 \right) \left(x+6 \right) & \lt 0 \\
-6 \lt x \lt 10 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -6\ \lt x \lt 10$
30. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi untuk pertidaksamaan $\left| 4-2x \right| \lt 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1\ \lt x \lt 5 \\
(B)\ & 1\ \lt x \lt 5 \\
(C)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 5 \\
(D)\ & -5\ \lt x \lt 1 \\
(E)\ & x \lt -5 \text{atau}\ x \gt 1 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
$ \begin{align}
\left| 4-2x \right| & \lt 6 \\
-6 \lt 4-2x & \lt 6 \\
-6+ -4 \lt 4-2x-4 & \lt 6-4 \\
-10 \lt -2x & \lt 2 \\
-5 \lt -x & \lt 1 \\
-1 \lt x & \lt 5 \end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $f^{2}(x) \lt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 4-2x \right| & \lt 6 \\
\left( 4-2x \right)^{2} & \lt 6^{2} \\
4x^{2}-16x+ 16 & \lt 36 \\
4x^{2}-16x-20 & \lt 0 \\
x^{2}-4x-5 & \lt 0 \\
\left(x-5 \right) \left(x+1 \right) & \lt 0 \\
-1 \lt x \lt 5 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1\ \lt x \lt 5$
31. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 5x-2 \right| \gt 7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt \frac{9}{5} \\
(B)\ & -1\ \lt x \lt \frac{9}{5} \\
(C)\ & x \lt -\frac{9}{5}\ \text{atau}\ x \gt -1 \\
(D)\ & -\frac{9}{5}\ \lt x \lt 1 \\
(E)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt \frac{9}{5} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| 5x-2 \right| & \gt 7 \\
5x-2 \lt -7\ \text{atau}\ & 5x-2 \gt 7 \\
5x \lt -7+2\ \text{atau}\ & 5x \gt 7+2 \\
5x \lt -5\ \text{atau}\ & 5x \gt 9 \\
x \lt \frac{-5}{5}\ \text{atau}\ & x \gt \frac{9}{5} \\
x \lt -1\ \text{atau}\ & x \gt \frac{9}{5} \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f^{2}(x) \gt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 5x-2 \right| & \gt 7 \\
\left( 5x-2 \right)^{2} & \gt 7^{2} \\
25x^{2}-20x+4 & \gt 49 \\
25x^{2}-20x-45 & \gt 0 \\
\left(5x-9 \right) \left(5x+5 \right) & \gt 0 \\
x \lt -1\ \text{atau}\ & x \gt \frac{9}{5} \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt \frac{9}{5}$
32. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| 3x-2 \right| \leq 12$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\frac{10}{3}\ \leq x \leq \frac{14}{3} \\
(B)\ & -\frac{14}{3}\ \leq x \leq \frac{10}{3} \\
(C)\ & x \leq -\frac{10}{3}\ \text{atau}\ x \geq \frac{14}{3} \\
(D)\ & \frac{10}{3}\ \leq x \leq \frac{14}{3} \\
(E)\ & x \leq -\frac{14}{3}\ \text{atau}\ x \geq \frac{10}{3} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$
$ \begin{align}
\left| 3x-2 \right| & \leq 12 \\
-12 \leq 3x-2 & \leq 12 \\
-12+2 \leq 3x-2+2 & \leq 12+2 \\
-10 \leq 3x & \leq 14 \\
\frac{-10}{3} \geq x & \geq \frac{14}{3} \end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $f^{2}(x) \leq a^{2}$
$\begin{align}
\left| 3x-2 \right| & \leq 12 \\
\left( 3x-2 \right)^{2} & \leq 12^{2} \\
9x^{2}-36x+4 & \leq 144 \\
9x^{2}-36x-140 & \leq 0 \\
\left(3x-14 \right) \left(3x+10 \right) & \leq 0 \\
-\frac{10}{3} \leq x \leq \frac{14}{3} & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{10}{3}\ \leq x \leq \frac{14}{3}$