Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Pertidaksamaan

Beberapa teori dasar pada ketidaksamaan dan pertidaksamaan yang mungkin akan kita gunakan dalam menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan, diantaranya adalah:

Nilai pertidaksamaan jika ditambah atau dikurang bilangan (c) yang sama nilainya tidak berubah,

• Jika $a\ \leq\ b$ maka $a+c\ \leq\ b+c$
• Jika $a\ \leq\ b$ maka $a-c\ \leq\ b-c$
• Jika $a\ \geq\ b$ maka $a+c\ \geq\ b+c$
• Jika $a\ \geq\ b$ maka $a-c\ \geq\ b-c$

Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan (c) postif yang sama nilainya tidak berubah,

• Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
• Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$
• Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
• Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$

Nilai pertidaksamaan jika dikali atau dibagi bilangan (c) negatif yang sama nilainya berubah,

• Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \times c\ \geq\ b \times c$
• Jika $a\ \leq\ b$ maka $a \div c\ \geq\ b \div c$
• Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \times c\ \leq\ b \times c$
• Jika $a\ \geq\ b$ maka $a \div c\ \leq\ b \div c$

Pertidaksamaan paling umum ditanyakan pada tingkat SMP atau SMA ada sebagai berikut:

• Pertidaksamaan Linear:
  $ax+b\ \leq\ 0$
• Pertidaksamaan Kuadrat:
  $ax^{2}+bx+c \leq\ 0$
• Pertidaksamaan Pecahan:
  $\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \leq\ 0$ dimana $g(x) \neq 0$
• Pertidaksamaan Kuadrat:
  $\sqrt{f(x)} \leq\ 0$ dimana $f(x) \geq 0$
• Pertidaksamaan Harga Mutlak:
  $|f(x)|\ \leq\ 0$ dimana $|f(x)|=\sqrt{f^{2}(x)}$

Pertidaksamaan Eksponen

• Untuk $a \gt 1$, jika $a^{f(x)}\ \leq\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \leq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
• Untuk $a \gt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
• Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \leq\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \geq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
• Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)

Pertidaksamaan Logaritma

• Untuk $a \gt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \leq\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \leq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
• Untuk $a \gt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \gt\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan tetap)
• Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \leq\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \geq\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)
• Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika ${}^a\!\log f(x)\ \lt\ {}^a\!\log g(x)$ maka $ {f(x)}\ \gt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah)

Latihan Soal :

1. Soal SNMPTN 2011 Kode 796 |*

Soal Lengkap

Jika $2 \lt x \lt 4$, $3 \lt y \lt 5$ dan $w=x+y$, maka nilai $w$ berada antara nilai...

$\begin{align} (A)\ & 5\ \text{dan}\ 7 \\ (B)\ & 4\ \text{dan}\ 9 \\ (C)\ & 5\ \text{dan}\ 8 \\ (D)\ & 5\ \text{dan}\ 9 \\ (E)\ & 4\ \text{dan}\ 7 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Karena yang mau kita cari adalah nilai $w=x+y$ dimana $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ maka kita dapat kisaran nilai $x+y$.
Dari $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ kita peroleh;
$\begin{align}
2 \lt & x \lt 4 & \\ 3 \lt & y \lt 5 & \\ \hline
2+3 \lt & x+y \lt 4+5 \\ 5 \lt & x+y \lt 9
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5\ \text{dan}\ 9$

2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*

Soal Lengkap

Himpunan penyelesaian $x-\sqrt{6-x} \geq 0$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ x|x \lt -3\ \text{atau}\ x \geq 2 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x|x \leq -3\ \text{atau}\ 2 \leq x \leq 6 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x|0 \leq x \leq 6 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x| x\leq 6 \right \} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
x-\sqrt{6-x} & \geq 0 \\ x & \geq \sqrt{6-x} \\ x^{2} & \geq 6-x \\ x^{2}+x-6 & \geq 0 \\ (x+3)(x-2) & \geq 0 \\ x=-3\ \text{atau}\ x=2 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 2$.

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
6-x & \geq 0 \\ x-6 & \leq 0 \\ x & \leq 6
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, karena $6-x \geq 0$ dan agar $x \geq \sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x & \geq 0
\end{align}$

Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas merupakan himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \}$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 |*

Soal Lengkap

Jika himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah $\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$, maka nilai $a$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -4 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:

• $|f(x)| \lt a$ HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
• $|f(x)| \gt a$ HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$

Himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah:
$\left \{ x|-5\ \lt 2x-a \lt 5 \right \}$
$\left \{ x|-5+a\ \lt 2x \lt 5+a \right \}$
$\left \{ x|\dfrac{-5+a}{2}\ \lt x \lt \dfrac{5+a}{2} \right \}$
Himpunan penyelesaian diatas ekuivalen dengan:
$\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$
Sehingga dapat kita simpulkan:

• $\dfrac{-5+a}{2}=-1$
  $-5+a=-2$
  $a=3$
• $\dfrac{5+a}{2}=4$
  $5+a=8$
  $a=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*

Soal Lengkap

Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah...

$(A) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \leq -\dfrac{1}{2} \right\}$
$(B) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2} \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
$(C) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$
$(D) \left \{x\mid 1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \leq \dfrac{1}{2} \right\}$
$(E) \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$

Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\ \dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\ \dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\ \dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\ \dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\ \dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\ \dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\ \dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x^{2}(x+1)(x-1)\neq 0$ maka $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $2x^{2}=0$ maka $x=0$
• Pembuat nol penyebut: $x^{2}(x+1)(x-1)$ maka $x=0$, $x=-1$ dan $x=1$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai $x$ (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-1 \leq x \leq 0$ atau $0 \leq x \leq 1$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} \leq 0$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah pecahan yaitu $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$

5. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 |*

Soal Lengkap

Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{3x+6}{|x-1|} \gt 4$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 9 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana;
$\begin{align}
\dfrac{3x+6}{|x-1|} & \gt 4 \\ \dfrac{3x+6}{|x-1|} -4 & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6}{|x-1|} - \dfrac{4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0
\end{align}$

Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x-1 \neq 0$ atau $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, Karena pertidaksamaan di atas memakai harga mutlak, sehingga kita kerjakan pada dua kemungkinan, yaitu:

• saat $x-1\geq 0$ maka $|x-1|=x-1$
  $\begin{align}
  \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4(x-1)}{x-1} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4x+4}{x-1} & \gt 0 \\ \dfrac{-x+10}{x-1} & \gt 0 \\ \dfrac{x-10}{x-1} & \lt 0 \\ 1 \lt x \lt 10 &
  \end{align}$
  Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8$ yaitu $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$
• saat $x-1 \lt 0$ maka $|x-1|=-x+1$
  $\begin{align}
  \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4(-x+1)}{-x+1} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6+4x-4}{-x+1} & \gt 0 \\ \dfrac{7x+2}{-x+1} & \gt 0 \\ \dfrac{7x+2}{x-1} & \lt 0 \\ -\dfrac{2}{7} \lt x \lt 1 &
  \end{align}$
  Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $1$ yaitu $0$.

Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8+1=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 9$

6. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 |*

Soal Lengkap

Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{x+2}{x} \leq \dfrac{x+3}{x-2}$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ x \gt 2 \\ (B)\ & -\dfrac{4}{3}\ \leq x \lt 2 \\ (C)\ & -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2 \\ (D)\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 2 \\ (E)\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x+2}{x} & \leq \dfrac{x+3}{x-2} \\ \dfrac{x+2}{x} - \dfrac{x+3}{x-2} & \leq 0 \\ \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x)(x-2)} - \dfrac{(x+3)(x)}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\ \dfrac{x^{2}-4-x^{2}-3x}{x(x-2)} & \leq 0 \\ \dfrac{-4-3x}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\ \dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} & \geq 0 \\ \end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x-2) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq 2$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $3x+4=0$ maka $x=-\dfrac{4}{3}$
• Pembuat nol penyebut: $(x)(x-2)=0$ maka $x=0$ atau $x=2$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai $x$ (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-\dfrac{4}{3} \leq x \leq 0$ atau $x \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} \geq 0$.

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq 2$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-\dfrac{4}{3} \leq x \lt 0$ atau $x \gt 2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2$

7. Soal SBMPTN 2016 Kode 124 |*

Soal Lengkap

Semua nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} \leq 0$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & x \lt 0 \\ (B)\ & -3 \leq x \leq 0 \\ (C)\ & -3 \lt x \lt 0 \\ (D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 0 \\ (E)\ & x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} & \leq 0 \\ \dfrac{3(x+3)}{(x)(x+3)}-\dfrac{3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\ \dfrac{3x+9-3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\ \dfrac{9}{(x)(x+3)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x+3) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq -3$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang tidak ada
• Pembuat nol penyebut adalah $(x)(x+3)=0$ maka $x=0$ atau $x=-3$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai $x$ (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-3 \leq x \leq 0$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{9}{(x)(x+3)} \leq 0$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq -3$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-3 \lt x \lt 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 0$

8. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 |*

Soal Lengkap

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{x-1}{x+1} \lt 1$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x \in R |x \gt 0 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x \in R |x \gt -1 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x \in {R} |x \lt -1 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x \in R |x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 0 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x \in R |x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 1 \right \}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x-1}{x+1} & \lt 1 \\ \dfrac{x-1}{x+1} -1 & \lt 0 \\ \dfrac{x-1}{x+1} -\dfrac{x+1}{x+1} & \lt 0 \\ \dfrac{x-1-x-1}{x+1} & \lt 0 \\ \dfrac{-2}{x+1} & \lt 0 \\ \end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: tidak ada
• Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai $x$ (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x\gt -1$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{-2}{x+1} \lt 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |x \gt -1 \right \}$

9. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 |*

Soal Lengkap

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{12}{x+1} \lt \dfrac{x}{6}$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x \in R |-1 \lt x \lt 8 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x \in R |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 8 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x \in R | x \leq -1\ \text{atau}\ 8 \lt x \lt 9 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 8 \right \}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{12}{x+1} & \lt \dfrac{x}{6} \\ \dfrac{12}{x+1} - \dfrac{x}{6} & \lt 0 \\ \dfrac{(12)(6)}{6(x+1)} - \dfrac{(x)(x+1)}{(6)(x+1)} & \lt 0 \\ \dfrac{72-x^{2}-x}{6(x+1)} & \lt 0 \\ \dfrac{-x^{2}-x+72}{6(x+1)} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}+x-72}{6(x+1)} & \gt 0 \\ \dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} & \gt 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $(x+9)(x-8)=0$ maka $x=-9$ atau $x=8$
• Pembuat nol penyebut: $x+1=0$ maka $x=-1$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai $x$ (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-9 \leq x \leq -1$ atau $ x \geq 8$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} \gt 0$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq -1$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-9\lt x \lt -1$ dan $x\gt 8$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \}$

10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*

Soal Lengkap

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ adalah...

$(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(B)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x \right )$
$(C)\ \left ( x\in \mathbb{R}: -2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(D)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq \frac{13}{6} \right )$
$(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \leq 3-x \\ \sqrt{x^{2}-4} & \leq \sqrt{(3-x)^{2}} \\ x^{2}-4 &\leq (3-x)^{2} \\ x^{2}-4 &\leq x^{2}-6x+9 \\ x^{2}-x^{2}+6x & \leq 9+4 \\ 6x & \leq 13 \\ x & \leq \dfrac{13}{6}
\end{align}$

Kedua kita perhatikan $\sqrt{x^{2}-4}$ agar mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-4} & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & \geq 0 \\ x \leq - 2\ &\ \text{atau}\ x \geq 2
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, karena $\sqrt{x^{2}-4} \geq 0$ dan agar $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\ x-3 & \leq 0 \\ x & \leq 3
\end{align}$

Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$

11. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*

Soal Lengkap

Himpunan peyelesaian $16-x^{2} \leq |x+4|$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: -4\leq x\leq 4 \right ) \\ (B)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: -4\leq x \leq 3 \right ) \\ (C)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 4 \right ) \\ (D)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: 0\leq x\leq 3 \right ) \\ (E)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas kita coba mulai dari nilai mutlak $|x+4|$, dari defenisi nilai mutal kita peroleh:
$|x+4|=\left\{\begin{matrix}
x+4,\ \text{untuk}\ x\geq -4 \\ -x-4,\ \text{untuk}\ x \lt -4
\end{matrix}\right.$

Berdasarkan defenisi nilai mutlak diatas kita peroleh dua bentuk pertidaksamaan yaitu untuk $x \geq -4$, maka $16-x^{2} \leq x+4$ atau $x \lt -4$, maka $16-x^{2} \leq -x-4$.

• Untuk $x \geq -4$, maka
  $\begin{align}
  16-x^{2} & \leq |x+4| \\ 16-x^{2} & \leq x+4 \\ 0 & \leq x+4+x^{2}-16 \\ x^{2}+x-12 & \geq 0 \\ (x+4)(x-3) & \geq 0 \\ x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 3
  \end{align}$
  Irisan $x \geq -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 3$ adalah $x\geq 3$
  
  
  
• Untuk $x \lt -4$, maka
  $\begin{align}
  16-x^{2} & \leq |x+4| \\ 16-x^{2} & \lt -(x+4) \\ 0 & \lt -x-4+x^{2}-16 \\ x^{2}-x-20 & \gt 0 \\ (x-5)(x+4) & \gt 0 \\ x \leq -4\ &\text{atau}\ x\geq 5
  \end{align}$
  Irisan $x \lt -4$ dan $x \leq -4\ \text{atau}\ x\geq 5$ adalah $x \leq -4$
  
  
  

Himpunan penyelesaian $16-x^{2} \leq |x+4|$ adalah $x \leq -4$ atau $x\geq 3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )$

12. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*

Soal Lengkap

Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu $t$ dan posisi partikel di setiap saat adalah $s(t)=2t^{3}-24t^{2}+90t+7$, $t \geq 0$. Kecepatan partikel ini positif bilamana $t$ memenuhi...

$\begin{align}
(A)\ & 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5 \\ (B)\ & 3 \lt t \lt 5 \\ (C)\ & 0 \leq t \lt 5 \\ (D)\ & t \geq 0 \\ (E)\ & t=0\ \text{atau}\ t=5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan fungsi kecepatan selalu positif dapat kita gunakan aturan turunan pertama dari fungsi $s(t)$, dimana:
$\begin{align}
v(t) & = s'(t) \\ & = 6t^{2}-48t+90
\end{align}$

Nilai kecepatan selalu positif, berarti $v(t) = 6t^{2}-48t+90 \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} v(t) & \gt 0 \\ 6t^{2}-48t+90 & \gt 0 \\ 6 \left( t^{2}- 8t+ 15 \right) & \gt 0 \\ 6 \left( t-5 \right) \left( t-3 \right) & \gt 0 \\ t \lt 3\ \text{atau}\ t \gt 5 & \end{align}$
Karena $t \geq 0$ maka yang nilai $t$ yang memenuhi adalah $0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$

13. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*

Soal Lengkap

Solusi pertaksamaan $\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} \leq 0 $ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi...

$\begin{align}
(A)\ & x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 1 \\ (B)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2 \\ (C)\ & -2 \leq x \leq 1 \\ (D)\ & -1 \leq x \leq 2 \\ (E)\ & x \leq 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Syarat sebuah pecahan mempunyai nilai adalah penyebut tidak boleh sama dengan nol, $-x^{2}+x-1 \neq 0$.
Jika dilihat dari $a \lt 0$ dan $D=b^{2}-4ac=1-4(-1)(-1)=-3$ $(D \lt 0)$ maka $-x^{2}+x-1$ adalah definit negatif (*selalu bernilai negatif untuk $x$ bilangan real).

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} & \leq 0 \\ \dfrac{x^{2}-x-2}{ x^{2}-x+1} & \geq 0 \\ \dfrac{(x-2)(x+1)}{x^{2}-x+1} & \geq 0
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $(x-2)(x+1)=0$ maka $x=2$ atau $x=-1$
• Pembuat nol penyebut: tidak ada

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai $x$ (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \leq -1$ atau $ x \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{(x-2)(x+1)}{x^{2}-x+1} \geq 0$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$

14. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*

Soal Lengkap

nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} \lt x+5 $ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & x \lt 2 \\ (B)\ & x \gt \dfrac{7}{5} \\ (C)\ & \dfrac{7}{5} \lt x \lt 2 \\ (D)\ & -\dfrac{13}{5} \lt x \lt 2 \\ (E)\ & x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} & \lt x+5 \\ \dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - (x+5) & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{(x+5)(x-2)}{x-2} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{x^{2}+3x-10}{x-2} & \lt 0 \\ \dfrac{-5x+7}{x-2} & \lt 0 \\ \dfrac{ 5x-7}{x-2} & \gt 0 \\ \end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $5x-7=0$ maka $x=\dfrac{7}{5}$
• Pembuat nol penyebut: $x-2=0$ maka $x=2$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai $x$ (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt \dfrac{7}{5}$ atau $x \gt 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{ 5x-7}{x-2} \gt 0$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Atau alternatif lain dalam menentukan himpunan penyelesaian, karena pembuat nol (batas) hanya ada dua maka untuk menentukan himpunan penyelesaian dapat dengan cara kreatif himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2$

15. Soal UMB-PT 2014 Kode 672

Soal Lengkap

Solusi pertaksamaan $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi...

$\begin{align}
(A)\ & -1 \leq x \leq 2 \\ (B)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ 2 \leq x \leq 3 \\ (C)\ & 1 \leq x \leq 2 \\ (D)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2 \\ (E)\ & 2 \leq x \leq 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{3-x} & \leq x-1 \\ \sqrt{3-x} & \leq \sqrt{(x-1)^{2}} \\ 3-x &\leq x^{2}-2x+1 \\ -x^{2}+2x-1+3-x &\leq 0 \\ x^{2}-x-2 &\geq 0 \\ (x-2)(x+1) &\geq 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{3-x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3-x & \geq 0 \\ x-3 & \leq 0 \\ x & \leq 3
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan, karena $3-x \geq 0$ dan agar $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x-1 & \geq 0 \\ x & \geq 1
\end{align}$

Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 \leq x \leq 3$

16. Soal SBMPTN 2014 Kode 677

Soal Lengkap

Penyelesaian pertidaksamaan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2}\leq 4\left ( 1- \dfrac{1}{x} \right )-3$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & x \leq -\dfrac{1}{2} \\ (B)\ & x \geq -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & x \geq 2 \\ (D)\ & x \leq 2 \\ (E)\ & x \leq -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x\geq 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Pertama kita coba sederhanakan pertidaksamaan menjadi:
$\begin{align}
\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( 1-\dfrac{1}{x} \right )-3 \\ \left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )-3
\end{align}$

Jika kita misalkan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )=a$
$\begin{align}
a^{2} & \leq 4a-3 \\ a^{2} - 4a+3 & \leq 0 \\ (a-1)(a-3) & \leq 0 \\ a=1\ \text{atau}\ a=3 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $1 \leq a \leq 3$.

$\begin{align}
1 \leq a & \leq 3 \\ 1 \leq \dfrac{x-1}{x} & \leq 3 \\ x \leq x-1 & \leq 3x \\ x-x \leq x-1-x & \leq 3x-x \\ 0 \leq -1 & \leq 2x
\end{align}$
Karena $0 \leq -1$ tidak memenuhi sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi hanya $-1 \leq 2x$ atau $x \leq -\dfrac{1}{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \leq -\dfrac{1}{2}$

17. Soal SBMPTN 2014 Kode 614

Soal Lengkap

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-2x} \lt \sqrt{3x+6}$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x | -1 \lt x \lt 6 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | -2 \leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \geq 2 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | x \geq -2 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-2x} &\lt \sqrt{3x+6} \\ x^{2}-2x &\lt 3x+6 \\ x^{2}-2x -3x-6 &\lt 0 \\
x^{2}-5x-6 &\lt 0 \\ (x-6)(x+1) &\lt 0 \\ x=6\ \text{atau}\ x=-1 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 \lt x \lt 6$

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-2x}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x^{2}-2x & \geq 0 \\ x(x-2) & \geq 0 \\ x \leq 0\ &\ x \geq 2
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
3x+6 & \geq 0 \\ 3x & \geq -6 \\ x &\ \geq -2
\end{align}$

Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}$

18. Soal SBMPTN 2014 Kode 622

Soal Lengkap

Semua nilai $x$ yang memenuhi $ \sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} \gt 2$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & -2 \leq x \lt -1 \\ (B)\ & x \gt 1 \\ (C)\ & -\dfrac{3}{2} \leq x \lt -1 \\ (D)\ & x \gt 2 \\ (E)\ & -1 \lt x \lt 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen.
$\begin{align}
\sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} & \gt 2 \\ \sqrt{x+10} & \gt 2 + \sqrt{x+2} \\ \left (\sqrt{x+10} \right )^{2} & \gt \left (2 + \sqrt{x+2} \right )^{2} \\ x+10 &\ \gt 4+x+2+4\sqrt{x+2} \\
x+10-4-x-2 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
4 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\
1^{2} &\ \gt \sqrt{x+2}^{2} \\
1 &\ \gt x+2 \\
-1 &\gt x
\end{align}$

Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x+10}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+10 & \geq 0 \\ x & \geq -10
\end{align}$

Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+2 & \geq 0 \\ x & \geq -2
\end{align}$

Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2 \leq x \lt -1$

19. Soal SBMPTN 2014 Kode 622

Soal Lengkap

Semua nilai $p$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{p}{p-2} \leq \dfrac{p-1}{p+2}$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & p \gt 2\ \text{atau}\ p \lt -2 \\ (B)\ & -2 \lt p\ \leq \dfrac{2}{5}\ \text{dan}\ p \neq 0 \\ (C)\ & p \lt -2\ \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2 \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2\ \text{dengan}\ n \neq 0 \\ (E)\ & -2 \lt p \leq \dfrac{2}{5}\ \text{atau}\ p \gt 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
\dfrac{p}{p-2} & \leq \dfrac{p-1}{p+2} \\ \dfrac{p}{p-2} - \dfrac{p-1}{p+2} & \leq 0 \\ \dfrac{p(p+2)}{(p-2)(p+2)} - \dfrac{(p-1)(p-2)}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\ \dfrac{p^{2}+2p-p^{2}+3p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\ \dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(p-2)(p+2) \neq 0$ maka $p \neq 2$ dan $p \neq -2$.

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $5p-2=0$ maka $p=\dfrac{2}{5}$
• Pembuat nol penyebut: $(p-2)(p+2)=0$ maka $p=2$ dan $p=-2$

Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai $x$ (*coba perhatikan gambar)

Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $p \leq -2$ atau $ \dfrac{2}{5} \leq p \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} \leq 0$

*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $p \neq 2$ dan $p \neq -2$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $p \lt -2$ atau $\dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ p \lt -2 \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$

20. Soal SBMPTN 2014 Kode 663

Soal Lengkap

Himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} \leq 2$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & \left \{ -1,1 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | -1 \leq x \leq 1\,\ x \neq 0 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | x \leq -1\ \text{atau}\ X \geq 1 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | 0 \lt x \leq 1 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | -\dfrac{3}{2} \leq x \leq 1,\ x \neq 0 \right \}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align}
x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} & \leq 2 \\ \dfrac{x^{4}+ 1}{x^{2}} - 2 & \leq 0 \\ \dfrac{x^{4}+ 1-2x^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\ \dfrac{\left( x^{2} -1 \right)^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\ \left( \dfrac{ x^{2} -1 }{x} \right)^{2} & \leq 0 \\ \left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} & \leq 0 \\ \end{align}$
Untuk setiap nilai $x$ maka $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \geq 0$ sehingga nilai $x$ yang memenuhi $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \leq 0$ adalah hanya untuk sama dengan nol, yaitu untuk $x-1$ atau $x=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ -1,1 \right \}$