1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*
Soal LengkapTujuh tahun yang lalu umur Ani sama dengan $6$ kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur Ani sama dengan 5 kali umur Budi ditambah dengan $9$ tahun. Umur Budi sekarang adalah....
$(A)\ 42\ \text{tahun}$
$(B)\ 35\ \text{tahun}$
$(C)\ 21\ \text{tahun}$
$(D)\ 18\ \text{tahun}$
$(E)\ 13\ \text{tahun}$
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan umur Ani dan Budi saat ini adalah $\text{Ani}=A$ dan $\text{Budi}=B$.
Untuk tujuh tahun yang lalu umur mereka adalah $(A-7)$ dan $(B-7)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-7) & = 6(B-7) \\ A-7 & = 6B-42 \\ A-6B & =-42+7 \\ A-6B & =-35\ \text{(Pers.1)}
\end{align} $
Untuk empat tahun yang akan datang umur mereka adalah $(A+4)$ dan $(B+4)$, berlaku:
$ \begin{align}
2(A+4) & = 5(B+4)+9 \\ 2A+8 & = 5B+20+9 \\ 2A+8 & = 5B+29 \\ 2A-5B & =29-8 \\ 2A-5B & =21\ \text{(Pers.2)}
\end{align} $
Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
A -6B = -35 & \times 2 & 2A-12B = -70 & \\ 2A- 5B = 21 & \times 1 & 2A-5B = 21 & - \\ \hline
& & -7B = -91 & \\ & & B = \frac{-91}{-7} & \\
& & B = 13 &
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 13\ \text{tahun}$
2. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*
Soal LengkapSebuah toko buku menjual $2$ buku gambar dan $8$ buku tulis seharga $Rp48.000,00$, sedangkan untuk $3$ buku gambar dan $5$ buku tulis seharga $Rp37.000,00$. Jika Adi membeli $1$ buku gambar dan $2$ buku tulis di toko itu, ia harus membayar sebesar...
$(A)\ Rp24.000,00$
$(B)\ Rp20.000,00$
$(C)\ Rp17.000,00$
$(D)\ Rp14.000,00$
$(E)\ Rp13.000,00$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan bahwa harga $2$ buku gambar dan $8$ buku tulis adalah $48.000$ dan $3$ buku gambar dan $5$ buku tulis adalah $37.000$.
Dengan memisalkan $\text{buku gambar}=m$ dan $\text{buku tulis}=n$ maka secara simbol bisa kita tuliskan;
$2$ buku gambar dan $8$ buku tulis adalah $48.000$ menjadi $2m+8n=48.000$
$3$ buku gambar dan $5$ buku tulis adalah $37.000$ menjadi $3m+5n=37.000$
Dari kedua persamaan di atas dengan mengeliminasi atau substitusi kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+8n = 48.000 & \times 3 & 6m+ 24n = 144.000 & \\ 3m+5n = 37.000 & \times 2 & 6m+10n=74.000 & - \\ \hline
& & 14n = 70.000 & \\ & & n = 5.000 & \\
n = 5.000 & 3m+5(5.000) & m=4.000 &
\end{array} $
Harga yang harus dibayar untuk $1$ buku gambar dan $2$ buku tulis di toko itu adalah $1(4.000)+(2)5.000=14.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ Rp14.000,00$
3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*
Soal LengkapKakak membeli $2\ kg$ duku dan $1\ kg$ manggis dengan harga $Rp12.000,00$. Adik membeli $3\ kg$ duku dan $2\ kg$ manggis dengan harga $Rp19.000,00$. Jika ibu membeli $4\ kg$ duku dan $5\ kg$ manggis, maka ibu harus membayar ... rupiah
Alternatif Pembahasan:
Jika kita misalkan $\text{duku}=d$ dan $\text{manggis}=m$, maka persamaan yang dibelanjakan kakak dan adik dapt kita tuliskan sebagai berikut;
kakak: $2d\ + 1m\ = 12.000$
adik: $3d\ + 2m\ = 19.000$
ibu: $4d\ + 5m\ = \cdots $
Dari belanja kakak dan adik kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2d + 1m = 12.000 & \times 2 \\ 3d + 2m = 19.000 & \times 1 \\ \hline
4d + 2m = 24.000 & \\ 3d + 2m = 19.000 & (-) \\ \hline
d = 5.000 & \\ 2d+m=12.000 & m=2.000 \\ 2(5.000)+m=12.000 & m=2.000
\end{array} $
Belanja ibu:
$ \begin{align}
4d\ + 5m\ & = 4(5.000) + 5(2.000) \\ & = 20.000+10.000 \\ & = 30.000 \end{align} $
4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*
Soal LengkapJika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{9}{a+2b}+\dfrac{1}{a-2b}=2 \\ \dfrac{9}{a+2b}-\dfrac{2}{a-2b}=-1\end{cases}$ maka $a-b^2=\cdots$
$(A)\ 1$
$(B)\ 2$
$(C)\ 3$
$(D)\ 5$
$(E)\ 9$
Alternatif Pembahasan:
Misalkan $x=\dfrac{1}{a+2b}$ dan $y=\dfrac{1}{a-2b}$ maka sistem persamaan pada soal dapat ditulis menjadi
\begin{split}
9x+y & = 2\\ 9x-2y & = -1
\end{split}
Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas diperoleh $x=\dfrac{1}{9}$ dan $y=1$. Lalu kita substitusi kembali nilai $x$ dan nilai $y$ pada pemisalan diawal, sehingga kita peroleh;
$\begin{split}
& \dfrac{1}{a+2b} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow a+2b=9\\ & \dfrac{1}{a-2b} = 1 \Rightarrow a-2b=1
\end{split}$
Sama seperti sebelumnya dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas kita peroleh $a=5$ dan $b = 2$.
Jadi $a-b^2\ = (5)-(2)^2\ = 1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
5. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 |*
Soal LengkapDiketahui sistem persamaan:
$\begin{align}
3a+7b+c & = 315 \\ 4a+10b+c & = 420
\end{align}$
Maka nilai $a+b+c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 100 \\ (B)\ & 105 \\ (C)\ & 110 \\ (D)\ & 150
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kedua persamaan di atas kita kurangkan maka akan kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+7b+c = 315 & \\ 4a+10b+c = 420 & (-)\\ \hline
a + 3b = 105 &
\end{array} $
Dari persamaan $3a+7b+c = 315$ kita lakukan manipulasi aljabar sebagai berikut;
$\begin{align}
3a+7b+c & =315 \\ 2a+a+6b+b+c & =315 \\ 2a+6b+a+b+c & =315 \\ 2(a+3b)+a+b+c & =315 \\ 2(105)+a+b+c & =315 \\ a+b+c & =315-210 \\ a+b+c & =105
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 105$
6. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 |*
Soal LengkapJika $a$ dan $b$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan $\left\{\begin{matrix}
2016a+2017b=6050\\
2017a+2016b=6049
\end{matrix}\right.$ maka nilai $b^{2}-a^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kedua persamaan kita kurangkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\ 2017a+2016b=6049 & (-)\\ \hline
-a+b=1 & \\ b-a=1 &
\end{array} $
Jika kedua persamaan kita tambahkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\ 2017a+2016b=6049 & (+)\\ \hline
4033a+4033b=12099 & \\ a+b=3 & \\ b+a=3 &
\end{array} $
Nilai $b^{2}-a^{2}=(b+a)(b-a)=3 \cdot 1=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
7. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 |*
Soal LengkapDiberikan $a,\ b,\ c$ adalah anggota bilangan ril (nyata).
$\left.\begin{matrix}
a+b+c=7\\
\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}
\end{matrix}\right\}$ maka nilai $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{19}{10} \\ (B)\ & \dfrac{21}{10} \\ (C)\ & \dfrac{23}{10} \\ (D)\ & \dfrac{25}{10}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari kedua persamaan $a+b+c=7$ dan $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}$ jika kita kalikan maka akan kita peroleh persamaan sebagai berikut:
$\begin{align}
\left ( 7 \right )\left (\dfrac{7}{10} \right ) & =\left ( a+b+c \right )\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \right ) \\ \dfrac{49}{10} & = \dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a} \\ \dfrac{49}{10} & =\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{a+c}{c+a} \\ \\ \dfrac{49}{10} & = 1+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1 \\ \dfrac{49}{10} & = 3+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\ \dfrac{49}{10}-3 & = \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\ \dfrac{19}{10} & = \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{19}{10}$
8. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*
Soal LengkapDiketahui sistem persamaan linear $x+2y=a$ dan $2x-y=3$. Jika $a$ merupakan bilangan positif terkecil sehingga persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian bilangan bulat $x=x_{0}$ dan $y=y_{0}$, maka nilai $x_{0}+y_{0}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kedua persamaan coba kita selesaikan:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y=a & \times 2 \\ 2x-y=3 & \times 1 \\ \hline
2x+4y = 2a & \\ 2x-y = 3 & - \\ \hline
5y = 2a-3 & \\ y = \frac{2a-3}{5}
\end{array} $
Agar $y$ bilangan bulat dan $a$ bilangan bulat positif maka $2a-3$ harus kelipatan $5$
$\begin{align}
2a-3 & \equiv 5k \\ 2a & \equiv 5k+3 \\ a & \equiv \dfrac{5k+3}{2} \\ \text{Untuk}\ k=1\ \text{maka}\ a & \equiv 4 \\ y & = \frac{2a-3}{5} \\ y & = \frac{2(4)-3}{5}=1 \\ x+2y & = a \\ x+2(1) & = 4 \\ x & = 4-2=2
\end{align}$
$x_{0}+y_{0}=2+1=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
9. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*
Soal LengkapJika $A$ merupakan himpunan semua nilai $c$ sehingga sistem persamaan linear $x-y=1$ dan $cx+y=1$ memiliki penyelesaian di kuadran $I$, maka $A=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ c | c=-1 \right \} \\ (B)\ & \left \{ c | c \lt -1 \right \} \\ (C)\ & \left \{ c | -1 \lt c \lt 1 \right \} \\ (D)\ & \left \{ c | c= 1 \right \} \\ (E)\ & \left \{ c | c \gt 1 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kedua persamaan coba kita selesaikan:
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=1 & \\ cx+y=1 & + \\ \hline
x+cx = 2 & \\ x(c+1) = 2 & \\ x = \dfrac{2}{c+1}
\end{array} $
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=1 & \times\ c\\ cx+y=1 & \times\ 1 \\ \hline
cx-cy=c & \\ cx+y=1 & - \\ \hline
-cy-y = c-1 & \\ y(c+1) = -c+1 & \\ y = \dfrac{-c+1}{c+1}
\end{array} $
Karena penyelesaian di kuadran $I$ maka nilai $x \gt 0$ dan $y \gt 0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\frac{2}{c+1} & \gt 0 \\ (2)(c+1) & \gt 0 \\ c+1 & \gt 0 \\ c & \gt -1
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{-c+1}{c+1} & \gt 0 \\ (-c+1)(c+1) & \gt 0 \\ - (c-1)(c+1) & \gt 0 \\ (c-1)(c+1) & \lt 0 \\ -1 \lt c \lt 1 \end{align}$
Irisan $c \gt -1$ dan $-1 \lt c \lt 1$ kita peroleh adalah $-1 \lt c \lt 1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left \{ c | -1 \lt c \lt 1 \right \}$
10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*
Soal LengkapDiberikan sistem $a^{2}x-3y=1$, $\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)x+\left( \dfrac{1}{a}+1 \right)y=6$. Agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=12\ \text{dan}\ a=2 \right \} \\ (B)\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=6\ \text{dan}\ a=4 \right \} \\ (C)\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=3\ \text{dan}\ a=-2 \right \} \\ (D)\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-5\ \text{dan}\ a=2 \right \} \\ (E)\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-2\ \text{dan}\ a=-3 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi, maka ada dua kemungkinan yaitu berimpit (banyak solusi) atau sejajar (tidak punya solusi). Dua keadaan ini terjadi saat $m_{1}=m_{2}$
$a^{2}x-3y=1$
$m_{1}=\dfrac{a^{2}}{3}$
$\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)x+\left( \dfrac{1}{a}+1 \right)y=6$
$m_{2}=\dfrac{-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}{\dfrac{1}{a}+1}$
Karena $m_{1}=m_{2}$, maka:
$\begin{align}
\dfrac{-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}{\dfrac{1}{a}+1} & = \dfrac{a^{2}}{3} \\ -\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right) & = \dfrac{a^{2}}{3} \times \left( \dfrac{1}{a}+1 \right)\\ -4 \left( a+\dfrac{3}{2} \right) & = a^{2} \times \left( \dfrac{1}{a}+1 \right)\\ -4a-6 & = a+a^{2}\\ a^{2}+5a+6 & = 0 \\ (a+3)(a+2) & = 0 \\ a=-3\ &\ a=-2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-2\ \text{dan}\ a=-3 \right \}$
11. Soal SNMPTN 2010 Kode 336 |*
Soal LengkapJika penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a+3 \right )x+y=0\\
x+\left ( a+3 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai $a^{2}+6a+17=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama. sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a+3}{1} & = \dfrac{1}{a+3} \\ (a+3)(a+3) & = 1 \\ a^{2}+6a+9 & = 1 \\ a^{2}+6a+9 [+8] & = 1 [+8] \\ a^{2}+6a+17 & = 9
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$
12. Soal SNMPTN 2010 Kode 326 |*
Soal LengkapJika penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a-2 \right )x+y=0\\
x+\left ( a-2 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai $a^{2}-4a+3=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena penyelesaian sistem persamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama. sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a-2}{1} & = \dfrac{1}{a-2} \\ (a-2)(a-2) & = 1 \\ a^{2}-4a +4 & = 1 \\ a^{2}-4a +4 [-1]& = 1 [-1] \\ a^{2}-4a +3 & = 0 \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$
13. Soal UM UGM 2009 Kode 932 |*
Soal LengkapJika garis $(a+b)x+2by=2$ dan garis $ax-(b-3a)y=-4$ berpotongan di $( 1,-1)$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena garis garis $(a+b)x+2by=2$ dan garis $ax-(b-3a)y=-4$ berpotongan di $( 1,-1)$ maka berlaku:
$\begin{align}
(a+b)x+2by & = 2 \\ (a+b)(1)+2b(-1) & = 2 \\ a+b -2b & = 2 \\ a-b & = 2 \\ ax-(b-3a)y & = -4 \\ a(1)-(b-3a)(-1) & = -4 \\ a +b-3a & = -4 \\ -2a +b & = -4 \\ \end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
a-b=2 & \\ -2a+b=-4 & (+) \\ \hline
-a=-2 & \\ a= 2 & \\
b= 0 & a+b=2
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
14. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*
Soal LengkapPada tahun $2001$ usia Bayu $7$ tahun lebih tua dari usia Andi, sedangkan jumlah umur mereka pada tahun $2007$ adalah $43$ tahun. Pada tahun $2018$ usia Bayu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 39\ \text{tahun} \\ (B)\ & 38\ \text{tahun} \\ (C)\ & 37\ \text{tahun} \\ (D)\ & 36\ \text{tahun} \\ (E)\ & 35\ \text{tahun}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan umur Andi dan Bayu pada tahun $2018$ adalah $\text{Andi}=A$ dan $\text{Bayu}=B$.
Dengan patokan tahun $2018$, tahun $2001$ adalah $17$ tahun yang lalu, sehingga umur mereka adalah $(A-17)$ dan $(B-17)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-17) +7& = (B-17) \\ A-10 & = B-17 \\ A-B & = -7\ \cdots (Pers.1)
\end{align} $
Dengan patokan tahun $2018$, tahun $2007$ adalah $11$ tahun yang lalu, sehingga umur mereka adalah $(A-11)$ dan $(B-11)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-11)+ (B-11) & = 43 \\ A+B & = 43+22 \\ A+B & = 65\ \cdots (Pers.2)
\end{align} $
Dari Sistem Persamaan Linear (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
A-B = -7 & \\ A+B = 65 & (-) \\ \hline
-2B=-72 \\ B=36
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 36\ \text{tahun}$
15. Soal UTBK-SBMPTN 2019Jika penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a+2 \right )x+y=0\\
x+\left ( a+2 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai terbesar $a^{2}+3a+9=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 7 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 11 \\ (D)\ & 13 \\ (E)\ & 27
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan yang disampaiakn di atas yaitu penyelesaian sistem persamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama.
sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a+2}{1} & = \dfrac{1}{a+2} \\ (a+2)(a+2) & = (1)(1) \\ a^{2}+4a +4 & = 1 \\ a^{2}+4a +3 & = 0 \\ (a+1)(a+3) & = 0 \\ a=-1\ & \text{atau}\ a=-3 \\ \hline
a=-1\ \rightarrow\ a^{2}+3a+9 & =1-3+9=7 \\ a=-3\ \rightarrow\ a^{2}+3a+9 & =9-9+9=9 \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$
16. Soal UTBK-SBMPTN 2019Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
4^{x}+5^{y}=6 \\
4^{\frac{x}{y}} = 5
\end{matrix}\right.$
Nilai $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & {}^3\!\log 4 \\ (B)\ & {}^3\!\log 20 \\ (C)\ & {}^3\!\log 5 \\ (D)\ & {}^3\!\log 25 \\ (E)\ & {}^3\!\log 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan yang disampaikan di atas, kita mungkin butuh sedikit catatan calaon guru tentang logaritma yaitu:
- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
- ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a} $
Dari persamaan $4^{\frac{x}{y}} = 5$ kita peroleh $4^{x} = 5^{y}$, lalu dapat kita substitusikan:
$\begin{align}
4^{x}+5^{y} &= 6 \\ 5^{y}+5^{y} &= 6 \\ 2 \cdot 5^{y} &= 6 \\ 5^{y} &= 3 \\ {}^5\!\log 3= y \\
\hline
4^{x} &= 5^{y}\\ 4^{x} &= 5^{{}^5\!\log 3}\\ 4^{x} &= 3 \\ {}^4\!\log 3= x
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} &= \dfrac{1}{{}^4\!\log 3}+\dfrac{1}{{}^5\!\log 3} \\ &= {}^3\!\log 4 + {}^3\!\log 5 \\ &= {}^3\!\log (4 \cdot 5) \\ &= {}^3\!\log 20
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ {}^3\!\log 20$
17. Soal UNBK Matematika IPS 2019 |*
Soal LengkapJika $(x_{1},y_{1})$ merupakan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $2x+5y=12$ dan $x+4y=15$, nilai dari $5x_{1}+3y_{1}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 63 \\ (B)\ & 57 \\ (C)\ & 21 \\ (D)\ & -27 \\ (E)\ & -39
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Soal di atas kita coba selesaikan dengan eliminasi dan substitusi:
$\left \{ \begin{matrix}
2x+5y=12\ \text{(pers.1)}\\
\ x+4y=15\ \text{(pers.2)}
\end{matrix} \right.$
Dari (pers.1) dan (pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+5y=12 &\ (\times 1) \\ x+4y=15 &\ (\times 2) \\ \hline
2x+5y=12 & \\ 2x+8y=30 &\ (-) \\ \hline
-3y=-18 \\ y=6 \\ \hline
x+4(6)=15 \\ x =15-24=-9
\end{array} $
Himpunan penyelesaian adalah $(-9,6)$, sehingga dapat kita simpulkan:
$ \begin{align}
5x_{1}+3y_{1} & = 5(-9)+3(6) \\ & = -45 + 18 \\ & = -27
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -27$
18. Soal UNBK Matematika IPS 2019 |*
Soal LengkapSeorang peternak memelihara dua jenis hewan ternak yaitu kambing dan sapi. Jumlah semua hewan ternaknya adalah $150$ ekor. Untuk memberi makan hewan-hewan tersebut setiap harinya, peternak membutuhkan biaya $Rp10.000,00$ untuk setiap ekor kambing dan $Rp15.000,00$ untuk setiap ekor sapi. Biaya yang dikeluarkan setiap hari untuk memberi makan ternak mencapai $Rp1.850.00,00$. Jika $x$ menyatakan banyak kambing dan $y$ menyatakan banyak sapi, model matematika yang tepat untuk permasalahan tersebut adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 10x+15y=185\ \text{dan}\ x+ y=150 \\ (B)\ & 2x+3y=370\ \text{dan}\ x+ y=150 \\ (C)\ & 3x+2y=370\ \text{dan}\ x+ y=150 \\ (D)\ & 2x+3y=185\ \text{dan}\ x+ y=150 \\ (E)\ & x+ y=370\ \text{dan}\ x+ y=150 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan bahwa $x$ menyatakan banyak kambing dan $y$ menyatakan banyak sapi.
Dari kalimat Soal Seorang peternak memelihara dua jenis hewan ternak yaitu kambing dan sapi. Jumlah semua hewan ternaknya adalah $150$ ekor sehingga jumlah kambing dan sapi adalah $150$ sehingga $x+y=150$.
Dari kalimat Untuk memberi makan hewan-hewan tersebut setiap harinya, peternak membutuhkan biaya $Rp10.000,00$ untuk setiap ekor kambing dan $Rp15.000,00$ untuk setiap ekor sapi. Biaya yang dikeluarkan setiap hari untuk memberi makan ternak mencapai $Rp1.850.00,00$. Biaya keseluruhan $Rp1.850.00,00$ adalah untuk memberi makan sebanyak $x$ kambing dan sebanyak $y$ sapi dimana biaya $Rp10.000,00$ untuk setiap ekor kambing dan $Rp15.000,00$ untuk setiap ekor sapi. Sehingga dapat kita simpulkan $10.000x+15.000y=1.850.000$, kita sederhanakan menjadi $10x+15y=1.850$ atau $2x+3y=370$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x+3y=370\ \text{dan}\ x+ y=150$
19. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*
Soal LengkapHasil penjumlahan dari $x,y,\ \text{dan}\ z$ yang memenuhi $3^{2x+y-z}=\left( \dfrac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)}$, ${}^\!\log (x-y+z)= \dfrac{1}{1+{}^2\!\log 5}$, dan $\begin{vmatrix} x & \dfrac{1}{2}\\ 2y & 2 \\ \end{vmatrix}=2$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{22}{3} \\ (B)\ & -\dfrac{23}{3} \\ (C)\ & -\dfrac{24}{3} \\ (D)\ & -\dfrac{25}{3} \\ (E)\ & -\dfrac{26}{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Soal yang disajikan di atas adalah perpaduan materi bilangan berpangkat, logaritma, matriks dan sistem persamaan, dengan manipulasi aljabar, kita coba selesaikan dengan cara seperti berikut ini:
$\begin{align} 3^{2x+y-z} &= \left( \dfrac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} &= \left( 3^{-3} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} &= 3^{-3x+3y-6z-6)} \\ 2x+y-z &= -3x+3y-6z-6 \\ 5x-2y+5z &= -6\ \text{pers.1} \end{align}$
$\begin{align} log (x-y+z) &= \dfrac{1}{1+{}^2\!\log 5} \\ log (x-y+z) &= \dfrac{1}{{}^2\!\log 2+{}^2\!\log 5} \\ log (x-y+z) &= \dfrac{1}{{}^2\!\log 10} \\ log (x-y+z) &= {}^10\!\log 2 \\ x-y+z &= 2\ \text{pers.2} \end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc} x-y+z = 2 & (\times 5) \\ 5x-2y+5z = -6 & (\times 1) \\ \hline 5x-5y+5z = 10 & \\ 5x-2y+5z = -6 & (-) \\ \hline -3y = 16 & \\ y = -\dfrac{16}{3} \end{array} $
Dari persamaan dua kita peroleh:
$\begin{align} x-y+z &= 2 \\ x-y+z+2y &= 2+2y \\ x+y+z &= 2+2y \\ &= 2+2 \cdot \left( -\dfrac{16}{3} \right) \\ &= 2 -\dfrac{32}{3} \\ &= \dfrac{6}{3} -\dfrac{32}{3}=-\dfrac{26}{3} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\dfrac{26}{3}$
20. Soal UM SIMAK UI 2019 Kode 539 |*
Soal LengkapJika $\left( p^{2}-1\right)x+y=0$ dan $-2x+\left( p^{2}-4\right)+y=0$ dengan $x \neq 0$ dan $y \neq 0$, nilai $p^{2}$ terkecil yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kedua sistem persamaan di atas mengandung $p^{2}$ sehingga jika kita misalkan $p^{2}=m$, maka sistem persamaan menjadi:
$\left\{\begin{matrix}
\left( m-1\right)x+y=0 \\ -2x+\left( m-4\right)y=0
\end{matrix}\right.$
Dengan mensubstitusi kedua persamaan kita peroleh:
$\begin{align}
-2x+\left( m-4\right) \left( -\left( m-1\right)x \right) &= 0 \\ -2x-\left( m-4\right) \left( m-1\right)x &= 0 \\ -\left( m-4\right) \left( m-1\right)x &= 2x \\ \left( m-4\right) \left( m-1\right) &= -2 \\ m^{2}-5m+4 &= -2 \\ m^{2}-5m+4+2 &= 0 \\ (m-3)(m-2) &= 0 \\ m=3\ \text{atau}\ m=2 & \\ \hline
p^{2}=3\ \text{atau}\ p^{2}=2 &
\end{align}$
Nilai $p^{2}$ terkecil yang memenuhi sistem persamaan linear adalah 2.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
21. Soal UM UGM 2019 Kode 633 |*
Soal LengkapDiberikan sistem persamaan linear
$\left\{\begin{matrix}
2x+3y= a \\
\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{5}y =5
\end{matrix}\right.$
Jika $x+y=2a+3$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 16 \\ (B)\ & 32 \\ (C)\ & 38 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 43
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+3y= a &\ (\times 2) \\ \dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{5}y =5 &\ (\times 35) \\ \hline
4x+6y=2a & \\ 5x+7y=175 &\ (-) \\ \hline
-x-y=2a-175 \\ x+y=175-2a \\ \hline
2a+3=175-2a \\ 4a =175-3 \\
a =\dfrac{172}{4}=43
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 43$
22. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*
Soal LengkapJika $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $4x-5y=a$ dan $8x+5y=34$ serta $x+a$ adalah bilangan prima antara $2$ dan $6$, maka $x-y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Disampaikan pada soal bahwa $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $4x-5y=a$ dan $8x+5y=34$ sehingga berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
4x-5y=a &\ \\ 8x+5y=34 &\ (+) \\ \hline
12x=a+34 \\ x=\dfrac{a+34}{12}
\end{array} $
Nilai $x+a$ adalah bilangan prima antara $2$ dan $6$ sehingga nilai $x+a$ yang mungkin adalah $3$ atau $5$;
$\begin{align}
x+a &= 3 \\ \dfrac{a+34}{12}+a &= 3 \\ a+34 +12a &= 3(12) \\ 13a &= 36-34 \\ 13a &= 12 \\ a &= \dfrac{12}{13} \\ \hline
x+a &= 5 \\ \dfrac{a+34}{12}+a &= 5 \\ a+34 +12a &= 5(12) \\ 13a &= 60-34 \\ 13a &= 26 \\ a &= 2 \\ \end{align}$
Nilai $a$ yang mengakibatkan $x$ bilangan bulat positif adalah $a=2$ sehingga $x+a=5$ atau $x=3$.
Untuk $x=3$, maka:
$\begin{align}
8x+5y &= 34 \\ 8(3)+5y &= 34 \\ 5y &= 34-24 \\ 5y &= 10 \\ y &= 2 \\ \hline
x-y &= 3-2 = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
23. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*
Soal LengkapJika $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $x+y=6$ dan $x-2y=1-b$ serta $x+b$ adalah bilangan antara $1$ dan $4$, maka $x-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Disampaikan pada soal bahwa $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $x+y=6$ dan $x-2y=1-b$ sehingga berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+y=6 &\ (\times 2) \\ x-2y=1-b &\ (\times 1) \\ \hline
2x+2y=12 &\ \\ x-2y=1-b &\ (+) \\ \hline
3x=13-b \\ x=\dfrac{13-b}{3}
\end{array} $
Nilai $x+b$ adalah bilangan bulat antara $1$ dan $4$ sehingga nilai $x+b$ yang mungkin adalah $2$ atau $3$;
$\begin{align}
x+b &= 2 \\ \dfrac{13-b}{3}+b &= 2 \\ 13-b +3b &= 2(3) \\ 2b &= 6-13 \\ b &= \dfrac{-7}{2} \\ \hline
x+b &= 3 \\ \dfrac{13-b}{3}+b &= 3 \\ 13-b +3b &= 3(3) \\ 2b &= 9-13 \\ b &= \dfrac{-4}{2}=-2 \\ \end{align}$
Nilai $b$ yang mengakibatkan $x$ bilangan bulat positif adalah $b=-2$ sehingga $x+b=3$ atau $x=5$.
Untuk $x=5$, maka:
$\begin{align}
x-b &= 5- \left( -2 \right) \\ &= 5- \left( -2 \right) \\ &= 7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 7$
24. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 |*
Soal LengkapAgar sistem persamaan linear
$\begin{cases} ax+by-3z=-3 \\ -2x-by+cz=-1 \\ ax+3y-cz=-3 \end{cases}$
mempunyai penyelesaian, $x=1$, $y=-1$, dan $z=2$, maka nilai $a+b+c$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sistem persamaan mempunyai penyelesaian $x=1$, $y=-1$, dan $z=2$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} a(1)+b(-1)-3(2) &= -3 \\ -2(1)-b(-1)+c(2) &= -1 \\ a(1)+3(-1)-c(2) &= -3 \\ \hline a -b- 6 = -3 & \\ -2+b +2c = -1 & \\ a -3 -2c = -3 & \\ \hline a -b &= 3 \\ b +2c &= 1 \\ a -2c &= 0\ \ (+) \\ \hline 2a &= 4\ \rightarrow a=2 \end{align}$
Dengan $a=2$ kita peroleh $b=-1$ dan $c=1$ sehingga $a+b+c=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$
25. Soal UM UNDIP 2019 Kode 431 |*
Soal LengkapSuatu bilangan bulat tak nol dan berbeda $x,y,$ dan $z$ memenuhi
$\dfrac{2x-3y}{2y+z}=\dfrac{x-z}{y}=\dfrac{2y}{x}=\dfrac{2018}{2019}$ maka nilai $\dfrac{x+y+z}{x-y+z}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{2018}{2019} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \dfrac{2019}{2018} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan pada soal dapat kita tuliskan menjadi beberapa persamaan yaitu:
- $\dfrac{2x-3y}{2y+z}=\dfrac{2018}{2019}$ atau $\dfrac{2x-3y}{2y+z}=\dfrac{2018p}{2019p}$,
- $\dfrac{x-z}{y}=\dfrac{2018}{2019}$ atau $\dfrac{x-z}{y}=\dfrac{2018q}{2019q}$,
- $\dfrac{2y}{x}=\dfrac{2018}{2019}$ atau $\dfrac{2y}{x}=\dfrac{2018r}{2019r}$
Dari ketiga persamaan di atas dapat kita peroleh kelompok pembilang yaitu $(1)\ 2x-3y=2018p$, $(2)\ x-z=2018q$, dan $(3)\ 2y=2018r$. Jika pada ketiga persamaan ini kita lakukan operasi aljabar yaitu:
$\begin{align} (1)-(2)+(3)\ & = 2018p-2018q+2018r \\ (2x-3y)-(x-z)+(2y)\ & = 2018 \left(p- q+ r \right) \\ 2x-3y - x+z+2y\ & = 2018 \left(p- q+ r \right) \\ x-y +z\ & = 2018 \left(p- q+ r \right) \end{align}$
Dari ketiga persamaan di atas juga dapat kita peroleh kelompok penyebut yaitu $(1)\ 2y+z=2019p$, $(2)\ y=2019q$, dan $(3)\ x=2019r$. Jika pada ketiga persamaan ini kita lakukan operasi aljabar yaitu:
$\begin{align} (1)-(2)+(3)\ & = 2019p-2019q+2019r \\ (2y+z)-(y)+(x)\ & = 2019 \left(p- q+ r \right) \\ 2y+z - y + x\ & = 2019 \left(p- q+ r \right) \\ x+y +z\ & = 2019 \left(p- q+ r \right) \end{align}$
Dapat kita peroleh $\dfrac{x+y+z}{x-y+z}$ adalah $\dfrac{2019 \left(p- q+ r \right)}{2018 \left(p- q+ r \right)}=\dfrac{2019}{2018}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2019}{2018}$
26. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*
Soal LengkapJika $x \gt 0$ dan $y \gt 0$ memenuhi sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right )=-1 \\ -2\left ( x-1 \right )+3\left (y+1 \right )=13 \end{matrix}\right.$
Nilai $ x^{2}+ y$ adalah
$\begin{align} (A)\ & 20 \\ (B)\ & 16 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1\ \left( \times 3 \right) \\ -2\left ( x-1 \right )+3\left (y+1 \right ) & = 13\ \left( \times 2 \right) \\ \hline 9\left (x^{2}-1 \right )-6\left (y+1 \right ) & = -3 \\ -4\left ( x-1 \right )+6\left (y+1 \right ) & = 26\ \left( + \right) \\ \hline 9\left (x^{2}-1 \right )-4\left ( x-1 \right ) & = 23 \\ 9x^{2}-9-4x +4 -23 & = 0 \\ 9x^{2} -4x -28 & = 0 \\ \left ( x-2 \right )+ \left ( 9x+14 \right ) & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-\frac{14}{9}\ &\text{(TM)} & \end{align}$
Untuk $x=2$, kita peroleh:
$\begin{align} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1 \\ 3\left ( (2)^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1 \\ 3\left ( 3 \right )-2y -2 & = -1 \\ 9-2y -2 & = -1 \\ -2y & = -1-7 \\ -2y & = -8 \rightarrow y=4 \\ \hline x^{2}+ y & = (2)^{2}+ 4 \\ & = 8 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a+2 \right )x+y=0\\
x+\left ( a+2 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai terbesar $a^{2}+3a+9=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 7 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 11 \\ (D)\ & 13 \\ (E)\ & 27
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan yang disampaiakn di atas yaitu penyelesaian sistem persamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama.
sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a+2}{1} & = \dfrac{1}{a+2} \\ (a+2)(a+2) & = (1)(1) \\ a^{2}+4a +4 & = 1 \\ a^{2}+4a +3 & = 0 \\ (a+1)(a+3) & = 0 \\ a=-1\ & \text{atau}\ a=-3 \\ \hline
a=-1\ \rightarrow\ a^{2}+3a+9 & =1-3+9=7 \\ a=-3\ \rightarrow\ a^{2}+3a+9 & =9-9+9=9 \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
4^{x}+5^{y}=6 \\
4^{\frac{x}{y}} = 5
\end{matrix}\right.$
Nilai $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & {}^3\!\log 4 \\ (B)\ & {}^3\!\log 20 \\ (C)\ & {}^3\!\log 5 \\ (D)\ & {}^3\!\log 25 \\ (E)\ & {}^3\!\log 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan yang disampaikan di atas, kita mungkin butuh sedikit catatan calaon guru tentang logaritma yaitu:
- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
- ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a} $
$\begin{align}
4^{x}+5^{y} &= 6 \\ 5^{y}+5^{y} &= 6 \\ 2 \cdot 5^{y} &= 6 \\ 5^{y} &= 3 \\ {}^5\!\log 3= y \\
\hline
4^{x} &= 5^{y}\\ 4^{x} &= 5^{{}^5\!\log 3}\\ 4^{x} &= 3 \\ {}^4\!\log 3= x
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} &= \dfrac{1}{{}^4\!\log 3}+\dfrac{1}{{}^5\!\log 3} \\ &= {}^3\!\log 4 + {}^3\!\log 5 \\ &= {}^3\!\log (4 \cdot 5) \\ &= {}^3\!\log 20
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ {}^3\!\log 20$
17. Soal UNBK Matematika IPS 2019 |*
Soal LengkapJika $(x_{1},y_{1})$ merupakan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $2x+5y=12$ dan $x+4y=15$, nilai dari $5x_{1}+3y_{1}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 63 \\ (B)\ & 57 \\ (C)\ & 21 \\ (D)\ & -27 \\ (E)\ & -39
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Soal di atas kita coba selesaikan dengan eliminasi dan substitusi:
$\left \{ \begin{matrix}
2x+5y=12\ \text{(pers.1)}\\
\ x+4y=15\ \text{(pers.2)}
\end{matrix} \right.$
Dari (pers.1) dan (pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+5y=12 &\ (\times 1) \\ x+4y=15 &\ (\times 2) \\ \hline
2x+5y=12 & \\ 2x+8y=30 &\ (-) \\ \hline
-3y=-18 \\ y=6 \\ \hline
x+4(6)=15 \\ x =15-24=-9
\end{array} $
Himpunan penyelesaian adalah $(-9,6)$, sehingga dapat kita simpulkan:
$ \begin{align}
5x_{1}+3y_{1} & = 5(-9)+3(6) \\ & = -45 + 18 \\ & = -27
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -27$
18. Soal UNBK Matematika IPS 2019 |*
Soal LengkapSeorang peternak memelihara dua jenis hewan ternak yaitu kambing dan sapi. Jumlah semua hewan ternaknya adalah $150$ ekor. Untuk memberi makan hewan-hewan tersebut setiap harinya, peternak membutuhkan biaya $Rp10.000,00$ untuk setiap ekor kambing dan $Rp15.000,00$ untuk setiap ekor sapi. Biaya yang dikeluarkan setiap hari untuk memberi makan ternak mencapai $Rp1.850.00,00$. Jika $x$ menyatakan banyak kambing dan $y$ menyatakan banyak sapi, model matematika yang tepat untuk permasalahan tersebut adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 10x+15y=185\ \text{dan}\ x+ y=150 \\ (B)\ & 2x+3y=370\ \text{dan}\ x+ y=150 \\ (C)\ & 3x+2y=370\ \text{dan}\ x+ y=150 \\ (D)\ & 2x+3y=185\ \text{dan}\ x+ y=150 \\ (E)\ & x+ y=370\ \text{dan}\ x+ y=150 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan bahwa $x$ menyatakan banyak kambing dan $y$ menyatakan banyak sapi.
Dari kalimat Soal Seorang peternak memelihara dua jenis hewan ternak yaitu kambing dan sapi. Jumlah semua hewan ternaknya adalah $150$ ekor sehingga jumlah kambing dan sapi adalah $150$ sehingga $x+y=150$.
Dari kalimat Untuk memberi makan hewan-hewan tersebut setiap harinya, peternak membutuhkan biaya $Rp10.000,00$ untuk setiap ekor kambing dan $Rp15.000,00$ untuk setiap ekor sapi. Biaya yang dikeluarkan setiap hari untuk memberi makan ternak mencapai $Rp1.850.00,00$. Biaya keseluruhan $Rp1.850.00,00$ adalah untuk memberi makan sebanyak $x$ kambing dan sebanyak $y$ sapi dimana biaya $Rp10.000,00$ untuk setiap ekor kambing dan $Rp15.000,00$ untuk setiap ekor sapi. Sehingga dapat kita simpulkan $10.000x+15.000y=1.850.000$, kita sederhanakan menjadi $10x+15y=1.850$ atau $2x+3y=370$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x+3y=370\ \text{dan}\ x+ y=150$
19. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*
Soal LengkapHasil penjumlahan dari $x,y,\ \text{dan}\ z$ yang memenuhi $3^{2x+y-z}=\left( \dfrac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)}$, ${}^\!\log (x-y+z)= \dfrac{1}{1+{}^2\!\log 5}$, dan $\begin{vmatrix} x & \dfrac{1}{2}\\ 2y & 2 \\ \end{vmatrix}=2$ adalah...$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{22}{3} \\ (B)\ & -\dfrac{23}{3} \\ (C)\ & -\dfrac{24}{3} \\ (D)\ & -\dfrac{25}{3} \\ (E)\ & -\dfrac{26}{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Soal yang disajikan di atas adalah perpaduan materi bilangan berpangkat, logaritma, matriks dan sistem persamaan, dengan manipulasi aljabar, kita coba selesaikan dengan cara seperti berikut ini:
$\begin{align} 3^{2x+y-z} &= \left( \dfrac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} &= \left( 3^{-3} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} &= 3^{-3x+3y-6z-6)} \\ 2x+y-z &= -3x+3y-6z-6 \\ 5x-2y+5z &= -6\ \text{pers.1} \end{align}$
$\begin{align} log (x-y+z) &= \dfrac{1}{1+{}^2\!\log 5} \\ log (x-y+z) &= \dfrac{1}{{}^2\!\log 2+{}^2\!\log 5} \\ log (x-y+z) &= \dfrac{1}{{}^2\!\log 10} \\ log (x-y+z) &= {}^10\!\log 2 \\ x-y+z &= 2\ \text{pers.2} \end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc} x-y+z = 2 & (\times 5) \\ 5x-2y+5z = -6 & (\times 1) \\ \hline 5x-5y+5z = 10 & \\ 5x-2y+5z = -6 & (-) \\ \hline -3y = 16 & \\ y = -\dfrac{16}{3} \end{array} $
Dari persamaan dua kita peroleh:
$\begin{align} x-y+z &= 2 \\ x-y+z+2y &= 2+2y \\ x+y+z &= 2+2y \\ &= 2+2 \cdot \left( -\dfrac{16}{3} \right) \\ &= 2 -\dfrac{32}{3} \\ &= \dfrac{6}{3} -\dfrac{32}{3}=-\dfrac{26}{3} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\dfrac{26}{3}$
20. Soal UM SIMAK UI 2019 Kode 539 |*
Soal LengkapJika $\left( p^{2}-1\right)x+y=0$ dan $-2x+\left( p^{2}-4\right)+y=0$ dengan $x \neq 0$ dan $y \neq 0$, nilai $p^{2}$ terkecil yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kedua sistem persamaan di atas mengandung $p^{2}$ sehingga jika kita misalkan $p^{2}=m$, maka sistem persamaan menjadi:
$\left\{\begin{matrix}
\left( m-1\right)x+y=0 \\ -2x+\left( m-4\right)y=0
\end{matrix}\right.$
Dengan mensubstitusi kedua persamaan kita peroleh:
$\begin{align}
-2x+\left( m-4\right) \left( -\left( m-1\right)x \right) &= 0 \\ -2x-\left( m-4\right) \left( m-1\right)x &= 0 \\ -\left( m-4\right) \left( m-1\right)x &= 2x \\ \left( m-4\right) \left( m-1\right) &= -2 \\ m^{2}-5m+4 &= -2 \\ m^{2}-5m+4+2 &= 0 \\ (m-3)(m-2) &= 0 \\ m=3\ \text{atau}\ m=2 & \\ \hline
p^{2}=3\ \text{atau}\ p^{2}=2 &
\end{align}$
Nilai $p^{2}$ terkecil yang memenuhi sistem persamaan linear adalah 2.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
21. Soal UM UGM 2019 Kode 633 |*
Soal LengkapDiberikan sistem persamaan linear
$\left\{\begin{matrix}
2x+3y= a \\
\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{5}y =5
\end{matrix}\right.$
Jika $x+y=2a+3$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 16 \\ (B)\ & 32 \\ (C)\ & 38 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 43
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+3y= a &\ (\times 2) \\ \dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{5}y =5 &\ (\times 35) \\ \hline
4x+6y=2a & \\ 5x+7y=175 &\ (-) \\ \hline
-x-y=2a-175 \\ x+y=175-2a \\ \hline
2a+3=175-2a \\ 4a =175-3 \\
a =\dfrac{172}{4}=43
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 43$
22. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*
Soal LengkapJika $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $4x-5y=a$ dan $8x+5y=34$ serta $x+a$ adalah bilangan prima antara $2$ dan $6$, maka $x-y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Disampaikan pada soal bahwa $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $4x-5y=a$ dan $8x+5y=34$ sehingga berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
4x-5y=a &\ \\ 8x+5y=34 &\ (+) \\ \hline
12x=a+34 \\ x=\dfrac{a+34}{12}
\end{array} $
Nilai $x+a$ adalah bilangan prima antara $2$ dan $6$ sehingga nilai $x+a$ yang mungkin adalah $3$ atau $5$;
$\begin{align}
x+a &= 3 \\ \dfrac{a+34}{12}+a &= 3 \\ a+34 +12a &= 3(12) \\ 13a &= 36-34 \\ 13a &= 12 \\ a &= \dfrac{12}{13} \\ \hline
x+a &= 5 \\ \dfrac{a+34}{12}+a &= 5 \\ a+34 +12a &= 5(12) \\ 13a &= 60-34 \\ 13a &= 26 \\ a &= 2 \\ \end{align}$
Nilai $a$ yang mengakibatkan $x$ bilangan bulat positif adalah $a=2$ sehingga $x+a=5$ atau $x=3$.
Untuk $x=3$, maka:
$\begin{align}
8x+5y &= 34 \\ 8(3)+5y &= 34 \\ 5y &= 34-24 \\ 5y &= 10 \\ y &= 2 \\ \hline
x-y &= 3-2 = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
23. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*
Soal LengkapJika $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $x+y=6$ dan $x-2y=1-b$ serta $x+b$ adalah bilangan antara $1$ dan $4$, maka $x-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Disampaikan pada soal bahwa $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $x+y=6$ dan $x-2y=1-b$ sehingga berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+y=6 &\ (\times 2) \\ x-2y=1-b &\ (\times 1) \\ \hline
2x+2y=12 &\ \\ x-2y=1-b &\ (+) \\ \hline
3x=13-b \\ x=\dfrac{13-b}{3}
\end{array} $
Nilai $x+b$ adalah bilangan bulat antara $1$ dan $4$ sehingga nilai $x+b$ yang mungkin adalah $2$ atau $3$;
$\begin{align}
x+b &= 2 \\ \dfrac{13-b}{3}+b &= 2 \\ 13-b +3b &= 2(3) \\ 2b &= 6-13 \\ b &= \dfrac{-7}{2} \\ \hline
x+b &= 3 \\ \dfrac{13-b}{3}+b &= 3 \\ 13-b +3b &= 3(3) \\ 2b &= 9-13 \\ b &= \dfrac{-4}{2}=-2 \\ \end{align}$
Nilai $b$ yang mengakibatkan $x$ bilangan bulat positif adalah $b=-2$ sehingga $x+b=3$ atau $x=5$.
Untuk $x=5$, maka:
$\begin{align}
x-b &= 5- \left( -2 \right) \\ &= 5- \left( -2 \right) \\ &= 7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 7$
24. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 |*
Soal LengkapAgar sistem persamaan linear
$\begin{cases} ax+by-3z=-3 \\ -2x-by+cz=-1 \\ ax+3y-cz=-3 \end{cases}$
mempunyai penyelesaian, $x=1$, $y=-1$, dan $z=2$, maka nilai $a+b+c$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sistem persamaan mempunyai penyelesaian $x=1$, $y=-1$, dan $z=2$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} a(1)+b(-1)-3(2) &= -3 \\ -2(1)-b(-1)+c(2) &= -1 \\ a(1)+3(-1)-c(2) &= -3 \\ \hline a -b- 6 = -3 & \\ -2+b +2c = -1 & \\ a -3 -2c = -3 & \\ \hline a -b &= 3 \\ b +2c &= 1 \\ a -2c &= 0\ \ (+) \\ \hline 2a &= 4\ \rightarrow a=2 \end{align}$
Dengan $a=2$ kita peroleh $b=-1$ dan $c=1$ sehingga $a+b+c=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$
25. Soal UM UNDIP 2019 Kode 431 |*
Soal LengkapSuatu bilangan bulat tak nol dan berbeda $x,y,$ dan $z$ memenuhi
$\dfrac{2x-3y}{2y+z}=\dfrac{x-z}{y}=\dfrac{2y}{x}=\dfrac{2018}{2019}$ maka nilai $\dfrac{x+y+z}{x-y+z}$ adalah...$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{2018}{2019} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \dfrac{2019}{2018} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan pada soal dapat kita tuliskan menjadi beberapa persamaan yaitu:
- $\dfrac{2x-3y}{2y+z}=\dfrac{2018}{2019}$ atau $\dfrac{2x-3y}{2y+z}=\dfrac{2018p}{2019p}$,
- $\dfrac{x-z}{y}=\dfrac{2018}{2019}$ atau $\dfrac{x-z}{y}=\dfrac{2018q}{2019q}$,
- $\dfrac{2y}{x}=\dfrac{2018}{2019}$ atau $\dfrac{2y}{x}=\dfrac{2018r}{2019r}$
Dari ketiga persamaan di atas dapat kita peroleh kelompok pembilang yaitu $(1)\ 2x-3y=2018p$, $(2)\ x-z=2018q$, dan $(3)\ 2y=2018r$. Jika pada ketiga persamaan ini kita lakukan operasi aljabar yaitu:
$\begin{align} (1)-(2)+(3)\ & = 2018p-2018q+2018r \\ (2x-3y)-(x-z)+(2y)\ & = 2018 \left(p- q+ r \right) \\ 2x-3y - x+z+2y\ & = 2018 \left(p- q+ r \right) \\ x-y +z\ & = 2018 \left(p- q+ r \right) \end{align}$
Dari ketiga persamaan di atas juga dapat kita peroleh kelompok penyebut yaitu $(1)\ 2y+z=2019p$, $(2)\ y=2019q$, dan $(3)\ x=2019r$. Jika pada ketiga persamaan ini kita lakukan operasi aljabar yaitu:
$\begin{align} (1)-(2)+(3)\ & = 2019p-2019q+2019r \\ (2y+z)-(y)+(x)\ & = 2019 \left(p- q+ r \right) \\ 2y+z - y + x\ & = 2019 \left(p- q+ r \right) \\ x+y +z\ & = 2019 \left(p- q+ r \right) \end{align}$
Dapat kita peroleh $\dfrac{x+y+z}{x-y+z}$ adalah $\dfrac{2019 \left(p- q+ r \right)}{2018 \left(p- q+ r \right)}=\dfrac{2019}{2018}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2019}{2018}$
26. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*
Soal LengkapJika $x \gt 0$ dan $y \gt 0$ memenuhi sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right )=-1 \\ -2\left ( x-1 \right )+3\left (y+1 \right )=13 \end{matrix}\right.$
Nilai $ x^{2}+ y$ adalah$\begin{align} (A)\ & 20 \\ (B)\ & 16 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1\ \left( \times 3 \right) \\ -2\left ( x-1 \right )+3\left (y+1 \right ) & = 13\ \left( \times 2 \right) \\ \hline 9\left (x^{2}-1 \right )-6\left (y+1 \right ) & = -3 \\ -4\left ( x-1 \right )+6\left (y+1 \right ) & = 26\ \left( + \right) \\ \hline 9\left (x^{2}-1 \right )-4\left ( x-1 \right ) & = 23 \\ 9x^{2}-9-4x +4 -23 & = 0 \\ 9x^{2} -4x -28 & = 0 \\ \left ( x-2 \right )+ \left ( 9x+14 \right ) & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-\frac{14}{9}\ &\text{(TM)} & \end{align}$
Untuk $x=2$, kita peroleh:
$\begin{align} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1 \\ 3\left ( (2)^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1 \\ 3\left ( 3 \right )-2y -2 & = -1 \\ 9-2y -2 & = -1 \\ -2y & = -1-7 \\ -2y & = -8 \rightarrow y=4 \\ \hline x^{2}+ y & = (2)^{2}+ 4 \\ & = 8 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$