Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Persamaan Garis (Part2)

21. Soal SNMPTN 2008 Kode 211

|*Soal Lengkap

Jika $P(2,5)$ merupakan titik singgung dari garis $y=ax+b$ pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ maka $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien dan garis singgung pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ di titik $P(2,5)$ adalah
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ m & = \dfrac{3}{2}x^{2}+x-1 \\ & = \dfrac{3}{2}(2)^{2}+(2)-1 \\ & = 7 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-5 & = 7(x-2) \\ y & = 7x-14+5 \\ y & = 7x-9 \\ \end{align}$
Karena $y=ax+b \equiv y=7x-9$ maka $a+b=-2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$

22. Soal UM UGM 2007 Kode 741

|*Soal Lengkap

Persamaan garis yang melalui titik potong garis $2x+2y-4=0$ dan $x-2y-5=0$ dan tegak lurus pada garis $12x+6y-3=0$ adalah $x+by+c=0$ nilai $b+c$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -7 \\ (B)\ & -3\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & -1\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+2y-4=0 & \\ x-2y-5=0 & (+) \\ \hline
3x-9=0 & \\ x=3 & \\ \hline
2x+2y-4=0 & 2(3)+2y-4=0 \\ 2y+2=0 & y=-1
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(3,-1)$ dan tegak lurus dengan $12x+6y-3=0$ $(m=-\dfrac{12}{6}=-2)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=\dfrac{1}{2}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-(-1) & = \dfrac{1}{2}(x-3) \\ y+1 & = \dfrac{1}{2} x - \dfrac{3}{2} \\ 2y+2 & = x - 3 \\ x-2y-5 & = 0 \\ b+c & = -7
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$

23. Soal SPMB 2006 Kode 510

|*Soal Lengkap

Persamaan garis yang melalui titik potong garis $4x+7y-15=0$ dan $14y =9x-4$ serta tegak lurus pada garis $21x+5y=3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 21x-5y=3 \\ (B)\ & 11x-21y=5 \\ (C)\ & 5x-21y=-11 \\ (D)\ & 5x+21y=-11 \\ (E)\ & 5x-21y=11
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
4x+7y-15=0 & (\times 2) \\ -9x+14y+4=0 & (\times 1) \\ \hline
8x+14y-30=0 & \\ -9x+14y+4=0 & (-) \\ \hline
17x-34=0 & \\ x=2 & \\ \hline
4x+7y-15=0 & 4(2)+7y-15=0 \\ 7y-7=0 & y=1
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(2, 1)$ dan tegak lurus dengan $21x+5y+3$ $(m=-\dfrac{21}{5})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=\dfrac{5}{21}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-1 & = \dfrac{5}{21}(x-2) \\ y-1 & = \dfrac{5}{21} x - \dfrac{10}{21} \\ 21y-21 & = 5x - 10 \\ 5x-21y & = -11
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5x-21y = -11$

24. Soal SPMB 2006 Kode 411

|*Soal Lengkap

Jika garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ berpotongan tegak lurus di titik $A$, maka koordinat $A$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & (1,1) \\ (B)\ & \left( \dfrac{1}{2},0 \right) \\ (C)\ & \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right) \\ (D)\ & \left( 1\dfrac{1}{4}, 1\dfrac{1}{2} \right) \\ (E)\ & \left( -1, -3 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ saling tegak lurus sehingga perkalian gradien kedua garis adalah $-1$.
$m_{h} \cdot m_{g}=-1$
$m_{h} \cdot 2=-1$
$m_{h} = \dfrac{-1}{2}$
Gradien garis $h$ adalah $\dfrac{-1}{2}$ maka $h:\ y=-\dfrac{1}{2}x+1$ atau $h:\ 2y=-x+2$

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
2y=-x+2 & (\times 1) \\ y=2x-1 & (\times 2) \\ \hline
2y=-x+2 & \\ 2y=4x-2 & (-) \\ \hline
0=-5x+4 & \\ x=\dfrac{4}{5} & \\ \hline
y=2x-1 & y=2x-1 \\ y=2(\dfrac{4}{5})-1 & y=\dfrac{3}{5}
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right)$

25. Soal SPMB 2006 Kode 111

|*Soal Lengkap

Jika garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$ dan tegak lurus $g:\ x+2y=4$ maka $h$ memotong $g$ di titik...
$\begin{align} (A)\ & \left( 2,1 \right) \\ (B)\ & \left( 4,0 \right) \\ (C)\ & \left( 3, 0 \right) \\ (D)\ & \left( 5, -1 \right) \\ (E)\ & \left( 6, -1 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$, sehingga dapat kita misalkan $h:\ y=mx-8$.

Garis $h:\ y=mx-8$ tegak lurus $g:\ x+2y=4$ maka perkalian gradien kedua garis adalah $-1$.
$m_{h} \cdot m_{g}=-1$
$m_{h} \cdot \dfrac{-1}{2}=-1$
$m_{h} = 2$
Gradien garis $h$ adalah $2$ maka $h:\ y=2x-8$ atau $h:\ 2x-y=8$

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y=4 & (\times 2) \\ 2x-y=8 & (\times 1) \\ \hline
2x+4y=8 & \\ 2x-y=8 & (-) \\ \hline
5y=0 & \\ y=0 & \\ \hline
x+2y=4 & x=4
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( 4,0 \right)$

26. Soal SPMB 2005 Kode 610

|*Soal Lengkap

Jika garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ sejajar dengan garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ maka konstanta $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{5} \\ (C)\ & \dfrac{1}{5} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ dapat kita sederhanakan menjadi
$\begin{align}
(x-2y)+a(x+y) & =a \\ x-2y +ax+ay & =a \\ (1+a)x+(a -2)y & =a \\ m\ & = -\dfrac{1+a}{a-2}
\end{align}$

Garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ dapat kita sederhanakan menjadi
$\begin{align}
(5y-x)+3a(x+y) & =2a \\ 5y-x +3a x+3ay & =2a \\ (3a-1)x+(5+3a)y & =a \\ m\ & = -\dfrac{3a-1}{5+3a}
\end{align}$

Kedau garis di atas adalah sejajar maka gradien kedua garis adalah sama.
$\begin{align}
-\dfrac{1+a}{a-2} & = -\dfrac{3a-1}{5+3a} \\ (1+a)(5+3a) & = (3a-1)(a-2) \\ 5+3a+5a+3a^{2} & = 3a^{2}-6a-a+2 \\ 5+8a+ & = -7a+2 \\ 15a & = -3 \\ a & = \dfrac{-3}{15}=-\dfrac{1}{ 5} \\ \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{5}$

27. Soal SPMB 2005 Kode 610

|*Soal Lengkap

Persamaan garis yang memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=x+1 \\ (B)\ & y=x-1 \\ (C)\ & y=-x+1 \\ (D)\ & y=-x-1 \\ (E)\ & y=2x-1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menentukan garis yang memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$, kita cari koordinat titik potongnya secara lengkap.
$\begin{align}
(x=1) & y =x^{2}+2x-1 \\ & y =1^{2}+2(1)-1 \\ & y =2 \\ (x=-2) & y =x^{2}+2x-1 \\ & y =(-2)^{2}+2(-2)-1 \\ & y =-1
\end{align}$

Garis yang melalui $(1,2)$ dan $(-2,-1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = \dfrac{-1-2}{-2-1} \\ & = \dfrac{-3}{-3}=1 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 1(x-1) \\ y & = x-1+2 \\ y & = x+1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=x+1 $

28. Soal UM UGM 2005 Kode 621

|*Soal Lengkap

Diketahui titik $P(a,2)$ terletak pada garis $l:3x-2y+1=0$. Persamaan garis melalui $P$ dan tegak lurus garis $l$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2x+3y-8=0 \\ (B)\ & 2x+3y-7=0 \\ (C)\ & 2x+3y+2=0 \\ (D)\ & 2x+3y+7=0 \\ (E)\ & 2x+3y+8=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik $P(a,2)$ terletak pada garis $l:3x-2y+1=0$ sehingga berlaku:
$3(a)-2(2)+1=0$
$3a-3=0$
$a=1$

Garis yang akan kita tentukan melalui $P(1, 2)$ dan tegak lurus dengan $3x-2y+1=0$ $(m=\dfrac{3}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=-\dfrac{2}{3}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = -\dfrac{2}{3}(x-1) \\ y-2 & = -\dfrac{2}{3} x + \dfrac{2}{3} \\ 3y-6 & = -2 x + 2 \\ 3y+2x & = 8
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x+3y-8=0$

29. Soal UM UGM 2005 Kode 821

|*Soal Lengkap

Garis yang melalui titik potong garis $x+2y-6=0$ dan $3x+2y-2=0$ serta tegak lurus garis $x-2y=5$ memotong sumbu $x$ di titik...
$\begin{align} (A)\ & (-5,0) \\ (B)\ & (-2,0) \\ (C)\ & (0,0) \\ (D)\ & (2,0) \\ (E)\ & (5,0) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y-6=0 & \\ 3x+2y-2=0 & (-) \\ \hline
-2x-4=0 & \\ x =-2 & \\ \hline
x+2y-6=0 & -2+2y-6=0 \\ 2y-8=0 & y=4
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(-2, 4)$ dan tegak lurus dengan $x-2y=5$ $(m=\dfrac{1}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=-2 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -2(x+2) \\ y & = -2x-4+4 \\ y & = -2x
\end{align}$
Garis $y = -2x$ memotong sumbu $X$ di titik $(0,0)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (0,0)$

30. Soal SPMB 2005 Kode 370

|*Soal Lengkap

Garis $g:\ y=-2x+3$ dan $h:\ y=2x-5$ berpotongan di titik $A$. Garis $k$ melalui $A$ dan sejajar dengan $l:\ y=3x+7$. Jika garis $k$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
y=-2x+3 & \\ y=2x-5 & (-) \\ \hline
-4x+8=0 & \\ x = 2 & \\ \hline
y=2x-5 & y=2(2)-5 \\ & y=-1
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $A(2, -1)$ dan sejajar dengan $y=3x+7$ $(m=3)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=3 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y+1 & = 3(x-2) \\ y & = 3x-6-1 \\ y & = 3x-7
\end{align}$
Garis $y = 3x-7$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=-7$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$

31. Soal SPMB 2005 Kode 370

|*Soal Lengkap

Jika $A(3,2)$, $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$, maka persamaan garis yang melelui titik $A$ dan tegak lurus $BC$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=-4x+10 \\ (B)\ & y=-4x+5 \\ (C)\ & y= 4x-1 \\ (D)\ & y=-4x+14 \\ (E)\ & y= 4x-14
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis $BC$ melalui $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ m_{BC} & = \dfrac{1-0}{2+2} \\ & = \dfrac{1}{4}
\end{align}$

Garis yang akan kita tentukan melalui $A(3,2)$ dan tegak lurus $BC$ dimana $ m_{BC}=\dfrac{1}{4}$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=-4$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = -4(x-3) \\ y & = -4x+12+2 \\ y & = -4x+14
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=-4x+14$

32. Soal SPMB 2005 Kode 370

|*Soal Lengkap

Parabola $y=ax^{2}+bx+1$ menyinggung sumbu $X$. Jika garis singgung pada parabola tersebut di titik $(0,1)$ tegak lurus $2y=x-1$, maka $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ m & = 2ax+b \\ m & = b
\end{align}$

Diketahui bahwa garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ tegak lurus $2y=x-1$ $m=\dfrac{1}{2}$ sehingga gradien garis singgung parabola adalah $m=-2$ maka nilai $b=-2$.

Parabola $y=ax^{2}-2x+1$ menyinggung sumbu $X$ sehingga $D=b^{2}-4ac=0$
$\begin{align}
b^{2}-4ac & = 0 \\ (-2)^{2}-4(a)(1) & = 0 \\ 4-4a & = 0 \\ 4 & = 4a \\ a & = 1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

33. Soal SPMB 2005 Kode 270

|*Soal Lengkap

Jika $f'(x)=x^{2}+2x$ dan garis $g$ menyinggung kurva $f$ di titik singguung $(1,2)$, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (0,-2) \\ (B)\ & (0,-1) \\ (C)\ & (0,0) \\ (D)\ & (0,1) \\ (E)\ & (0, 2)
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis $g$ yang menyinggung $f$ di titik $(1,2)$ adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ m & = x^{2}+2x \\ m & = 1^{2}+2(1) \\ m & = 3
\end{align}$

Persamaan garis $g$ yang melalui titik $(1,2)$ dengan $m=3$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 3(x-1) \\ y & = 3x-3+2 \\ y & = 3x-1 \\ \end{align}$
Garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-1)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (0,-1)$

34. Soal SPMB 2005 Kode 270

|*Soal Lengkap

Jika garis $y=1$ menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\ (C)\ & -1\ \text{atau}\ 3 \\ (D)\ & 1\ \text{atau}\ 3 \\ (E)\ & -2\ \text{atau}\ 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis $y=1$ merupakan garis horizontal, sehingga jika menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka dapat kita simpulkan bahwa titik $(-b,1)$ merupakan puncak parabola $(x_{p},y_{p})$
$\begin{array}{c|c|cc}
x_{p} = \dfrac{-b}{2a} & y_{p} = \dfrac{-D}{4a} \\ -b = \dfrac{-b}{2a} & 1 = -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ -2ab = -b & -4a = b^{2}-4ac \\ 2a = 1 & -4 \cdot \dfrac{1}{2} = b^{2}-4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3\\ a = \dfrac{1}{2} & -2 = b^{2}-6\\ & b^{2} = 4
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2\ \text{atau}\ 2 $

35. Soal SPMB 2005 Kode 370

|*Soal Lengkap

Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ dan menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$. Jika garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$ maka $b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ maka gradien garis $g$ adalah $m_{g}=-3$, maka dapat kita misalkan garis $g$ adalah $g:\ y=-3x+n$

Garis $g:\ y=-3x+n$ juga menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$, maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D = 0)$;
$\begin{align}
y = & y \\ 2x^{2}+x-3 = & -3x+n \\ 2x^{2}+x+3x-3-n = & 0 \\ 2x^{2}+4x-3-n = & 0 \\ D = & b^{2}-4ac \\ 0 = & (4)^{2}-4(2)(-3-n) \\ 0 = & 16+24+8n \\ 8n = & -40 \\ n = & -5
\end{align}$

Garis $g:\ y=-3x+n$ adalah $y=-3x-5$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-5)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -5$

36. Soal UM UGM 2004 Kode 332

|*Soal Lengkap

Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left(-1\dfrac{1}{2},-3\dfrac{1}{2} \right) \\ (B)\ & \left(0,-3 \right) \\ (C)\ & \left( 1\dfrac{1}{2},-2\dfrac{1}{2} \right) \\ (D)\ & \left( 3,-2 \right) \\ (E)\ & \left(9,0 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ adalah titik potong garis yang melalui $(1,4)$ dan tegak lurus $2x-6y=18$.

Garis yang akan kita tentukan melalui $(1,4)$ dan tegak lurus dengan $2x-6y=18$ $(m= \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=- 3 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -3(x-1) \\ y-4 & = -3x +3 \\ y & = -3 x+7
\end{align}$

Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-6y=18 & (\times 3) \\ 3x+y = 7 & (\times 2) \\ \hline
6x-18y=54 & \\ 6x+2y = 14 & (-) \\ \hline
-20y = 40 & \\ y = -2 & 3x+y = 7 \\ & 3x-2 = 7 \\ & 3x = 9 \\ & x=3
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( 3,-2 \right)$

37. Soal UM UGM 2004 Kode 322

|*Soal Lengkap

Garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$. Jika $l \perp h $, dan $0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}$ maka $b-c=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 3-2\sqrt{3} \\ (B)\ & 3- \sqrt{3} \\ (C)\ & \sqrt{3}-3 \\ (D)\ & 2\sqrt{3}-3 \\ (E)\ & 3\sqrt{3}-3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sedikit catatan tentang turunan yaitu jika $y=k\ \text{k=konstanta}$ maka $y'=0$ dan jika $y=cos\ ax$ maka $y'=-a\ sin\ ax$.

Gradien garis $l$ yang menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\ m & = 2sin\ x \\ m & = 2sin\ a
\end{align}$

Gradien garis $h$ yang menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\ m & = -2sin\ x \\ m & = -2sin\ a
\end{align}$

Karena garis $l \perp h $ maka:
$\begin{align}
m_{l} \cdot m_{h} & = -1 \\ 2sin\ a \cdot -2sin\ a & = -1 \\ -4sin^{2}a & = -1 \\ sin^{2}a & = \dfrac{1}{4} \\ sin\ a & = \dfrac{1}{2} \\ a & = 30^{\circ}
\end{align}$

Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ sehingga:
$\begin{align}
y & = 3-2 cos\ x \\ b & = 3-2 cos\ 30^{\circ} \\ & = 3-2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = 3- \sqrt{3}
\end{align}$

Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ sehingga:
$\begin{align}
y & = 2cos\ x \\ c & = 2cos\ 30^{\circ} \\ & = 2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = \sqrt{3}
\end{align}$

Nilai $b-c$ adalah $3- \sqrt{3}-\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3-2\sqrt{3}$

38. Soal UM UGM 2004 Kode 121

|*Soal Lengkap

Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}$ di titik potong kurva tersebut dengan kurva $y=\dfrac{1}{x}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y+2x+1=0 \\ (B)\ & y+2x-1=0 \\ (C)\ & y-2x+1=0 \\ (D)\ & y-2x-1=0 \\ (E)\ & 2y-x+1=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik potong kurva $y=x^{2}$ dan kurva $y=\dfrac{1}{x}$
$\begin{align}
y & = y \\ x^{2} & = \dfrac{1}{x} \\ x^{3} & = 1 \\ x^{3} -1 & = 0 \\ x^{3}-1 & = 0 \\ (x-1)(x^{2}+x+1) & = 0
\end{align}$
Salah satu nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ maka $y=x^{2}=1^{2}=1$ sehingga titik potong adalah $(1,1)$

Persamaan garis singgug kurva $y=x^{2}$ di titik $(1,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\ & = 2x \\ m & = 2(1)=2 \\ \hline
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-1 & = 2(x-1) \\ y & = 2x-2+1 \\ y & = 2x-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y-2x+1=0$

39. Soal SPMB 2004 Kode 440

|*Soal Lengkap

Persamaan garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2x-y+2=0 \\ (B)\ & 2x+y-6=0 \\ (C)\ & 4x-y =0 \\ (D)\ & -2x+y-2=0 \\ (E)\ & -4x-y+6=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Persamaan garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$, maka ordinatnya adalah $y=1+\dfrac{3}{1}=4$

Persamaan garis singgug kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik $(1,4)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\ & = 1-\dfrac{3}{x^{2}} \\ m & = 1-\dfrac{3}{1^{2}} \\ & = 1-3=-2 \\ \hline
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -2(x-1) \\ y & = -2x+2+4 \\ y & = -2x+6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x+y-2=0$

40. Soal SPMB 2004 Kode 541

|*Soal Lengkap

Persamaan garis singgung pada kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4x+2y-5=0 \\ (B)\ & 2x+ y+5=0 \\ (C)\ & 4x+2y+5=0 \\ (D)\ & 2x+y-5=0 \\ (E)\ & 8x+4y-5=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis singgung kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ $(m=-\dfrac{6}{3}=-2)$ sehingga:
$\begin{align}
m & = y' \\ -2 & = 2x+2 \\ -2-2 & = 2x \\ x & = -2 \\ \hline
y & = x^{2}+2x-1 \\ y & = (-2)^{2}+2(-2)-1 \\ y & = 4-4-1=-1
\end{align}$

Persamaan garis singgung yang akan kita tentukan melalui $(-2,-1)$ dan $m=-2$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y+1 & = -2(x+2) \\ y & = -2x-4-1 \\ y & = -2x-5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x+y+5=0$

41. Soal SPMB 2004

|*Soal Lengkap

Persamaan garis singgung pada kurva $y=x^{2}-4x+5$ yang tegak lurus garis $y=-2x+3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 16y=-8x+35 \\ (B)\ & 16y=-8x-1 \\ (C)\ & 16y=8x-1 \\ (D)\ & 16y=8x-35 \\ (E)\ & 16y=8x+35
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis singgung kurva $y=x^{2}-4x+5$ tegak lurus dengan garis $y=-2x+3$ dimana gradien kita sebut $m_{1}=-2$, sehingga gradien garis singgung kurva kita sebut $m_{2}$ adalah:
$\begin{align}
m_{1} \cdot m_{2} & = -1 \\ -2 \cdot m_{2} & = -1 \\ m_{2} & = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

Gradien garis singgung kurva $y=x^{2}-4x+5$ adalah $m_{2} = \dfrac{1}{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
y' & = m_{2} \\ 2x-4 & = \dfrac{1}{2} \\ 4x-8 & = 1 \\ 4x & = 9 \\ x & = \dfrac{9}{4} \\ \hline
y & = x^{2}-4x+5 \\ y & = \left( \dfrac{9}{4} \right)^{2}- 4 \left( \dfrac{9}{4} \right) + 5 \\ y & = \dfrac{81}{16} - 9 + 5 \\ y & = \dfrac{17}{16}
\end{align}$
Persamaan garis singgung yang akan kita tentukan melalui $\left( \dfrac{9}{4},\dfrac{17}{16}, \right)$ dan $m=\dfrac{1}{2}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-\dfrac{17}{16} & = \dfrac{1}{2} \left( x-\dfrac{9}{4} \right) \\ 16y-17 & = 8 \left( x-\dfrac{9}{4} \right) \\ 16y & = 8x- 18+17 \\ 16y & = 8x- 1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16y=8x-1$

42. Soal UNBK Matematika IPA 2019

|*Soal Lengkap

Persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt{2x+7}$ yang tegak lurus dengan garis $5x+y-10=0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x-5y+4=0 \\ (B)\ & x-5y+16=0 \\ (C)\ & x-5y+34=0 \\ (D)\ & x+5y-4=0 \\ (E)\ & x+5y-16=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Jika gradien garis singgung kurva adalah $m_{1}$, gradien garis $5x+y-10=0$ adalah $m_{2}=-5$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2}=-1 \\ m_{1} \times -5=-1 \\ m_{1} = \dfrac{1}{5}
\end{align}$

Untuk mendapatkan Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis. Gradien persamaan garis singgung pada kurva $y=\sqrt{2x+7}$ gradiennya adalah $m=\dfrac{1}{5}$.
$\begin{align}
y & = \sqrt{2x+7} \\ y & = \left( 2x+7 \right)^{\frac{1}{2}} \\ m=y' & = \frac{1}{2} \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \\ \dfrac{1}{5} & = \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ \dfrac{1}{5} & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+7}} \\ \sqrt{2x+7} & = 5 \\ 2x+7 & = 25 \\ 2x & = 18 \\ x & = 9 \\ y & = \sqrt{2x+7}\\
&=\sqrt{2(9)+7}=5
\end{align} $

Persamaan garis singgung kurva melalui titik $(9,5)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{5}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\ y-5 & = \dfrac{1}{5} (x-9) \\ 5y-25 & = x-9 \\ 5y-x-25+9 & = 0 \\ 5y-x-16 & = 0 \\ x-5y+16 & = 0
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x-5y+16=0$

43. Soal UNBK Matematika IPA 2019

|*Soal Lengkap

Persamaan garis yang melalui $A(2,-4)$ dan tegak lurus dengan garis singgung kurva $y=2x^{2}-3x-6$ pada titik tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5x-y-14=0 \\ (B)\ & 5x+y-6=0 \\ (C)\ & x+5y-27=0 \\ (D)\ & x+5y+18=0 \\ (E)\ & x-5y-22=0 \\ \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis.
$\begin{align}
y & = 2x^{2}-3x-6 \\ m=y' & = 4x-3 \\ \hline
x=2 \\ \hline
m=4(2)-3=5
\end{align} $

Jika gradien garis singgung kurva adalah $m_{1}=5$, gradien garis adalah $m_{2}$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2}=-1 \\ 5 \times m_{2}=-1 \\ m_{2} = -\dfrac{1}{5}
\end{align}$

Persamaan garis singgung kurva melalui titik $A(2,-4)$ dengan gradien $m=-\dfrac{1}{5}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\ y-(-4) & = -\dfrac{1}{5} (x-2) \\ -5y-20 & = x-2 \\ -5y-20-x+2 & = 0 \\ -5y-x-18 & = 0 \\ x+5y+18 & = 0
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x+5y+18=0$

44. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diberikan fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$. Garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik dengan absis $x=a$ dan $x=a+1$ saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{\sqrt{37}} \\ (B)\ & \dfrac{4}{\sqrt{37}} \\ (C)\ & \dfrac{3}{\sqrt{37}} \\ (D)\ & \dfrac{2}{\sqrt{37}} \\ (E)\ & \dfrac{1}{\sqrt{37}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sedikit catatan tentang turunan yaitu jika $y=f(x)$ maka $m=y'=f'(x)$.

Garis yang menyinggung fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$ di $x=a$ dan $x=a+1$ adalah sejajar sehingga gradien kedua garis adalah sama, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m = f'(x) & = 6x^{2}+6x+6 \\ \hline
x=a\ & \rightarrow m= 6a^{2}+6a+6 \\ x=a+1\ & \rightarrow m= 6(a+1)^{2}+6(a+1)+6
\end{align}$

$\begin{align}
6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+12a+6+6 a+6+6 \\ 6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+18a+18 \\ -12 & = 12a \\ a & = -1
\end{align}$

Untuk $x=a$ kita peroleh $x=-1$ maka $y=0$ dan gradien garis singgung adalah $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-0 & = 6 \left( x+1 \right) \\ y & = 6 x+ 6
\end{align}$

Untuk $x=a+1$ kita peroleh $x=0$ maka $y=5$ dan gradien garis singgung adalah $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-5 & = 6 \left( x+0 \right) \\ y & = 6 x+5
\end{align}$

Jarak kedua garis adalah jarak titik $(-1,0)$ pada garis $y = 6 x+6$ ke garis $y = 6 x+5$, yaitu:
$\begin{align}
d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{(-6)(-1)+(1)(0)-5}{\sqrt{(-6)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{1}{\sqrt{36+1}} \right| \\ & = \left| \dfrac{1}{\sqrt{37}} \right|
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{\sqrt{37}}$

45. Soal SBMPTN 2016 Kode 249

|*Soal Lengkap

Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang membuat segitiga $PQR$ sama sisi adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & \sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \sqrt{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4} \sqrt{3} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita coba mengilustrasikan kurva $y=3-x^{2}$ dan garis singgung di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ seperti berikut ini;

Dari gambar di atas garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ yaitu $PR$ dan $Q(a,b)$ yaitu $QR$ dapat kita hitung grad gradien masing-masing garis dengan menggunakan turunan pertama $m=y'$:
$\begin{align}
y & = 3-x^{2} \\ y' & = -2x \\ m_{PR} & = -2(-a) = 2a \\ m_{QR} & = -2(a) = 2a
\end{align}$

Nilai gradien garis dapat juga kita hitung dengan menggunakan $m=tan\ \alpha$ dimana $\alpha$ adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu-$x$ positif.

Karena yang diharapkan segitiga $PQR$ menjadi segitiga samasisi maka sudut $PQR=\alpha$ adalah $\alpha=60^{\circ}$ sehingga gradien garis $PR$ adalah:
$\begin{align}
m_{PR} & =tan\ 60^{\circ} \\ 2a & = \sqrt{3} \\ a & = \dfrac{1}{2} \sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

46. Soal UM UGM 2019 Kode 624

|*Soal Lengkap

Jika garis singgung kurva $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ di titik $ \left(a,b \right) $ mempunyai gradien $15$, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah...

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -4 \\ (D)\ & -6 \\ (E)\ & -8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $\left(a,b \right)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga Kurva $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ memppunyai gradien $m=15$ di $ \left(a,b \right) $ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ 15 & = 3x^{2}-6x-9 \\ 15 & = 3(a)^{2}-6(a)-9 \\ 0 & = 3a^{2}-6a-24 \\ 0 & = a^{2}-2a-8 \\ 0 & = \left(a-4 \right)\left(a+2 \right) \\ & a=4\ \text{atau}\ a=-2 \end{align}$

Untuk $ a=4=x$ maka $b=y=(4)^{3} - 3(4)^{2} - 9(4)=-20$.
Nilai $a+b=-16$
Untuk $ a=-2=x$ maka $b=y=(-2)^{3} - 3(-2)^{2} - 9(-2)=-2$.
Nilai $a+b=-4$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -4$