Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Persamaan Garis

BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS

---

• $y=mx+n$ dengan gradien (kemiringan) adalah $m$
• $ax+by+c=0$ dengan gradien (kemiringan) adalah $m=-\dfrac{a}{b}$

---

GRADIEN GARIS $(m)$

---

• Saat garis $g$ melalui titik $A(x_{1},y_{1})$ dan $B(x_{2},y_{2})$ maka $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
• Saat garis $g$ memotong sumbu $x$ di $(b,0)$ dan memotong sumbu $y$ di $(0,a)$ maka $m=-\dfrac{a}{b}$
• Saat garis $g$ membentuk sudut sebesar $\alpha$ dengan sumbu $x$ positif maka $m=tan\ \alpha$
• Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$

---

GUBUNGAN 2 GARIS Terhadap GRADIEN

---

Jika garis $g_{1}:y=m_{1}x+c_{1}$ dan garis $g_{2}:y=m_{2}x+c_{2}$, maka berlaku:

• $m_{1}=m_{2}$ saat $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \parallel g_{2}$ maka $m_{1}=m_{2}$;
• $m_{1} \cdot m_{2}=-1$ saat $g_{1}$ tegak lurus dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \perp g_{2}$ maka $m_{1} \cdot m_{2}=-1$;
• $tan\ \alpha=\left| \dfrac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} \cdot m_{2}} \right|$ saat $g_{1}$ dan $g_{2}$ membentuk sudut $\alpha$

---

PERSAMAAN GARIS

---

• Jika garis $g$ memotong sumbu-$x$ di titik $(a,0)$ dan memotong sumbu-$y$ di titik $(0,b)$ maka garis $g$ adalah $ay+bx=ab$;
• Jika garis $g$ melalui titik $(0,0)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y=mx$;
• Jika garis $g$ melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$;
• Jika garis $g$ melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka garis $g$ adalah $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$;

---

JARAK TITIK TERHADAP GARIS

---

• Jarak titik $A(x_{1},y_{1})$ dengan titik $B(x_{2},y_{2})$ adalah $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
• Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$

1. Soal SBMPTN 2018 Kode 408

|*Soal Lengkap

Jika garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ di titik $P(a,b)$ dengan $a \lt 0 $ memotong sumbu-y di titik $Q(0,-2)$, maka $a+b$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 7-4\sqrt{2} \\ (B)\ & 2-2\sqrt{2} \\ (C)\ & 1-2\sqrt{2} \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ melalui titik $P(a,b)$ sehingga berlaku $b=\dfrac{1}{4}a^{2}-1$ atau $4b+4=a^{2}$.

Garis singgung kurva melalui titik $P(a,b)$ dan $Q(0,-2)$ maka garis singgung adalah;
$\begin{align}
\dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{0-a} \\ \dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{-a} \\ -ay+ab = & -2x+2a-bx+ab \\ -ay+2x+bx-2a = & 0 \\ -ay+(2+b)x-2a = & 0 \\ m = & \dfrac{2+b}{a} \\ \end{align}$
Karena garis merupakan garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ maka gradien $m=y'=\dfrac{1}{2}x$ dan gradien garis singgung kurva di titik $P(a,b)$ adalah $m=\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}a$.

Dari kedua nilai $m$ di atas kita peroleh persamaan, sebagai berikut;
$\begin{align}
\dfrac{1}{2}a = & \dfrac{2+b}{a} \\ \dfrac{1}{2}a^{2} = & 2+b \\ \dfrac{1}{2}(4b+4) = & 2+b \\ 2b+2 = & 2+b \\ b = & 0
\end{align}$
Untuk $b=0$ maka $a^{2}=4b+4=4$, nilai $a=-2$ atau $a=2$ (TM).

Nilai $a+b=-2+0=-2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -2$

2. Soal SBMPTN 2016 Kode 355

|*Soal Lengkap

Suatu garis yang melalui titi $(0,0)$ membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut $(1,0),(5,0),(1,12)$ dan $(5,12)$ menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & \dfrac{12}{5} \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Suatu garis yang membagi persegi panjang jadi dua bagian yang sama adalah melalui titik $(0,0)$ maka adalah $y=mx$. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Persegi panjang yang terbentuk luasnya adalah $4 \times 12=48$ satuan luas dan luas trapesium adalah setengah luas persegi panjang yaitu $24$ satuan luas.
$\begin{align}
24 & = \dfrac{1}{2}\ jumlah\ garis\ sejajar\ \cdot t \\ 24 & = \dfrac{1}{2}\ (m+5m)(5-1) \\ 24 & = 2(6m) \\ 24 & = 12m \\ m & = 2 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 124

|*Soal Lengkap

Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x-8y-9=0 \\ (B)\ & x+4y+3=0 \\ (C)\ & 2x-8y-10=0 \\ (D)\ & x+8y+7=0 \\ (E)\ & x-4y-5=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ kita misalkan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, sehingga berlaku
$y-(-1)=m(x-1)$
$y+1=mx-m$
$y=mx-m-1$

Karena garis $y=mx-m-1$ menyinggung kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D = 0)$;
$\begin{align}
y = & y \\ mx-m-1 = & \dfrac{x}{2-2x} \\ (mx-m-1)(2-2x) = & x \\ 2mx-2m-2-2mx^{2}+2mx+2x -x = & 0 \\ -2mx^{2}+4mx+x-2m-2 = & 0 \\ 2mx^{2}-4mx-x+2m+2 = & 0 \\ 2mx^{2}+(-4m-1)x+2m+2 = & 0
\end{align}$
$\begin{align}
D = & b^{2}-4ac \\ 0 = & (-4m-1)^{2}-4(2m)(2m+2) \\ 0 = & 16m^{2}+8m+1 -16m^{2}-16m \\ 0 = & -8m+1 \\ 8m = & 1 \\ m = & \dfrac{1}{8}
\end{align}$

Persamaan garis adalah $y=mx-m-1$ sehingga $y=\dfrac{1}{8} x-\dfrac{1}{8}-1$ atau $8y=x-9$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ x-8y-9=0$

4. Soal SBMPTN 2016 Kode 255

|*Soal Lengkap

Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang membuat segitiga $PQR$ sma sisi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & \sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4}\sqrt{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ adalah $m=y'=-2x$,
Pada saat garis singgung melalui titik $P(-a,b)$ dan $R$ maka $m_{PR}=2a$
Pada saat garis singgung melalui titik $Q(a,b)$ dan $R$ maka $m_{QR}=-2a$

Garis singgung $PR$ dan $QR$ berpotongan dan membentuk segitiga sama sisi maka sudut yang dibentuk oleh $PR$ dan $QR$ masing-masing terhadap sumbu-$x$ positif adalah $60^{\circ}$ dan $120^{\circ}$, sehingga gradien garis $PR$ adalah $m_{PR}=tan\ 60^{\circ}=\sqrt{3}$.

Gradien $PR$ yaitu $m_{PR}=2a$ dan $m_{PR}=\sqrt{3}$ maka $2a=\sqrt{3}$ atau $a=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

5. Soal SBMPTN 2015 Kode 605

|*Soal Lengkap

Jika garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ dan menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$, maka garis $g$ memotong sumbu-$y$ di titik...
$\begin{align} (A)\ & (0,-4) \\ (B)\ & (0,-1) \\ (C)\ & (0,0) \\ (D)\ & (0,1) \\ (E)\ & (0,4) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama, dan garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ maka gradien garis $g$ adalah $m_{g}=2$.

Diketahui juga bahwa garis $g$ menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$ maka $m_{g}=y'=2x+4$.

Dari nilai $m_{g}=y'=2x+4$ dan $m_{g}=2$ dapat kita tentukan nilai $x$ dan $y$ saat $m=2$ yaitu
$\begin{align}
m_{g} & = m_{g} \\ 2x+4 & = 2 \\ 2x & =-2 \\ x & =-1 \\ y & = x^{2}+4x+5 \\ y & = (-1)^{2}+4(-1)+5 \\ y & = 1-4+5 \\ y & = 2
\end{align}$

Garis $g$ adalah garis yang melalui titik $(-1,2)$ dan gradien $m=2$, maka persamaan garis $g$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 2(x-(-1)) \\ y-2 & = 2x+2 \\ y-2x & = 4
\end{align}$
Garis $g: y-2x = 4$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,4)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ (0,4)$

6. Soal UM UGM 2014 Kode 522

|*Soal Lengkap

Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu $X$ di titik $P$. Persamaan garis singgung kurva di titik $P$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x-9y-9=0 \\ (B)\ & x-9y+9=0 \\ (C)\ & 9x-y-9=0 \\ (D)\ & 9x-y+9=0 \\ (E)\ & 9x+y-9=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu $X$ di $P$ maka berlaku
$\begin{align}
3x-\dfrac{3}{x^{2}} & = 0 \\ 3x^{3}-3 & = 0 \\ x^{3}-1 & = 0 \\ (x-1)(x^{2}+x+1) & = 0
\end{align}$
Salah satu nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ maka titik $P$ adalah $(1,0)$

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ & = 3+\dfrac{6}{x^{3}} \\ m & = 3+\dfrac{6}{(1)^{3}} \\ m & = 9
\end{align}$

Garis singgung kurva di titik $P(1,0)$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-0 & = 9(x-1) \\ y & = 9x-9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9x-y-9=0$

7. Soal SBMPTN 2014 Kode 677

|*Soal Lengkap

Titik $P$ dan $Q$ masing-masing mempunyai absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^{2}-1$. Jika garis $g$ tegak lurus $PQ$ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik berordinat...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4p^{2}}-1 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{4p^{2}}+1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{4p^{2}}-1 \\ (D)\ & \dfrac{p^{2}-1}{4} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4p^{2}}+1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Karena absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^{2}-1$ maka titik $P$ adalah $(2p, 4p^{2}-1)$ dan titik $Q$ adalah $(-3p, 9p^{2}-1)$.

Gradien garis $PQ$ adalah
$\begin{align}
m_{PQ} & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ & = \dfrac{9p^{2}-1-(4p^{2}-1)}{-3p-(2p)} \\ & = \dfrac{9p^{2}-1-4p^{2}+1 }{-3p-2p } \\ & = \dfrac{5p^{2} }{5p } \\ & = p
\end{align}$

Garis $g$ kita misalkan $g:y=mx+n$ dan garis $PQ$ tegak lurus maka
$\begin{align}
m_{PQ} \cdot m_{g} & = -1 \\ p \cdot m_{g} & = -1 \\ m_{g} & = -\dfrac{1}{p }
\end{align}$

Diketahui juga bahwa garis $g:y=-\dfrac{1}{p}x+n$ menyinggung $y=x^{2}-1$ maka
$\begin{align}
-\dfrac{1}{p}x+n & = x^{2}-1 \\ x^{2}-1 +\dfrac{1}{p}x-n & = 0 \\ x^{2} +\dfrac{1}{p}x-n-1 & = 0 \\ D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ \dfrac{1}{p^{2}}-4(1)(-n-1) & = 0 \\ \dfrac{1}{p^{2}}+4n+4 & = 0 \\ 4n & = -\dfrac{1}{p^{2}}-4 \\ n & = -\dfrac{1}{4p^{2}}-1
\end{align}$
Persamaan garis $g$ adalah $y=-\dfrac{1}{p}x -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$

8. Soal SBMPTN 2014 Kode 677

|*Soal Lengkap

Garis $l$ mempunyai gradien $2$. Jika $l$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-x^{2}+px+l$ di $x=1$, maka persamaan $l$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=2x-3 \\ (B)\ & y=2x-1 \\ (C)\ & y=2x \\ (D)\ & y=2x+2 \\ (E)\ & y=2x+4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis $l$ adalah $2$, maka dapat kita misalkan garis $l$ adalah $l: y=2x+n$

Karena garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+px+1$ di $x=1$ maka:
$\begin{align}
m_{l} & = y' \\ 2 & = -2x+p \\ 2 & = -2+p \\ 4 & = p
\end{align}$

Garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+4x+1$ di $x=1$ maka $y=-(1)^{2}+4(1)+1=4$.

Untuk $x=1$ nilai $y=4$ maka:
$\begin{align}
y & = 2x+n \\ 4 & = 2(1) + n \\ 2 & = n \\ y & = 2x+n \\ y & = 2x+2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ y=2x+2$

9. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221

|*Soal Lengkap

Jika garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^{2}-6x+k$, maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ adalah $m=4-2x=4-2(1)=2$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-3 & = 2(x-1) \\ y-3 & = 2x-2 \\ y & = 2x+1
\end{align}$

Karena $y = 2x+1$ juga merupakan garis singgung $y=x^{2}-6x+k$ maka
$\begin{align}
m & = y' \\ 2 & = 2x-6 \\ 8 & = 2x \\ x & = 4 \\ y & = 2x+1 \\ y & = 2(4)+1=9 \\ y & = x^{2}-6x+k \\ 9 & = 4^{2}-6(4)+k \\ 9 & = 16-24+k \\ k & = 9+8=17
\end{align}$

Nilai $5-\sqrt{k-1}= 5-\sqrt{17-1}=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

10. Soal UMB 2012 Kode 270

|*Soal Lengkap

Garis lurus dengan gradien positif memotong parabola $y=(x-2)^{2}$ di titik $P$ dan $Q$. Jika $T(3,5)$ adalah titik tengah ruas garis $PQ$, maka garis $PQ$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=4x-7 \\ (B)\ & y=3x-4 \\ (C)\ & y=2x-1 \\ (D)\ & y=x+2 \\ (E)\ & y=\dfrac{1}{2}x+3\dfrac{1}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Misal titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$.

Titik $T(3,5)$ adalah titik tengah $PQ$ sehingga berlaku
$3=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}$ atau $ x_{1}+x_{2}=6$ dan
$5=\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}$ atau $ y_{1}+y_{2}=10$

Karena titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$ terletak pada parabola $y=x^{2}-4x+4$ sehingga berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
x_{1}^{2}-4x_{1}+4 = y_{1} & \\ x_{2}^{2}-4x_{2}+4 = y_{2} & (+) \\ \hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4(x_{1}+x_{2})+8 = y_{1}+y_{2} & \\ (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(6)+8 = 10 & \\ 6^{2}-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\ 36-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\ 2x_{1}x_{2} = 10 & \\ x_{1}x_{2} = 5 & \\ x_{1} = 1 & \\ x_{2} = 5 &
\end{array} $

$\begin{align}
y_{2} & = x_{2}^{2}-4x_{2}+4 \\ & = 5^{2}-4(5)+4 \\ & = 9 \\ y_{1} & = x_{1}^{2}-4x_{1}+4 \\ & = 1^{2}-4(1)+4 \\ & = 1
\end{align}$

Persamaan garis $PQ$
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ m & = \dfrac{5-1}{3-1} =2 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-1 & = 2(x-1) \\ y & = 2x-2+1 \\ y & = 2x-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=2x-1$

11. Soal SIMAK UI 2011 Kode 213

|*Soal Lengkap

Titik pada garis $y=3x+10$ yang terdekat dengan titik $(3,8)$ adalah titik $P$. Jarak titik $P$ dan $(3,8)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{11}{10} \\ (B)\ & \dfrac{11\sqrt{10}}{10} \\ (C)\ & \dfrac{91}{10} \\ (D)\ & \dfrac{91\sqrt{10}}{10} \\ (E)\ & \dfrac{121\sqrt{10}}{10}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik $P$ terletak pada garis $y=3x+10$ dan merupakan jarak yang terdekat dengan titik $(3,8)$, sehingga jarak titik $P$ dengan titik $(3,5)$ merupakan jarak titik $(3,5)$ dengan garis $y=3x+10$.

Jarak titik $(x_{1}, y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
Jarak titik $(3,5)$ dengan garis $-3x+y-10=0$ adalah:
$\begin{align}
d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{(-3)(3)+(1)(8)-10}{\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{-9+8-10}{\sqrt{9+1}} \right| \\ & = \left| \dfrac{-11}{\sqrt{10}} \right| \\ & = \dfrac{11}{10}\sqrt{10}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{11}{10}\sqrt{10}$

12. Soal SIMAK UI 2011 Kode 214

|*Soal Lengkap

Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ mempunyai gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$. Ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ di titik yang sama. Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X$ dari ketiga garis adalah $\dfrac{1}{9}$, maka persamaan garis $l_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 117x-39=4 \\ (B)\ & 117x+39=4 \\ (C)\ & 117x-39=-4 \\ (D)\ & 39x+117y=4 \\ (E)\ & 39x-117y=-4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ mempunyai gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$ dan ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ $(x=0)$ di titik yang sama sehingga dapat kita misalkan:

• $l_{1}: y=2x+a $
• $l_{2}: y=3x+a $
• $l_{3}: y=4x+a $

Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X$ $(y=0)$ dari ketiga garis adalah $\dfrac{1}{9}$, maka dapat kita tuliskan:

• Untuk $l_{1}: y=2x+a $ saat $y=0$ maka berlaku $0=2x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{2}a$
• Untuk $l_{2}: y=3x+a $ saat $y=0$ maka berlaku $0=3x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{3}a$
• Untuk $l_{3}: y=4x+a $ saat $y=0$ maka berlaku $0=4x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{4}a$
• $\dfrac{1}{9}=-\dfrac{1}{2}a- \dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{4}a$
  $\dfrac{1}{9}=-\dfrac{6+4+3}{12}a$
  $\dfrac{1}{9}=-\dfrac{13a}{12} $
  $a=-\dfrac{12}{9 \cdot 13}= -\dfrac{4}{39}$

Persamaan $l_{2}: y=3x+a $ adalah $l_{2}: y=3x-\dfrac{4}{39} $ atau $39y=117x-4$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 117x-39=4$

13. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208

|*Soal Lengkap

Diketahui fungsi kuadrat $f(x)=x^{2}-4x+5$. Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)$ dan garis $y=5$ membentuk sebuah segitiga dengan garis $y=5$. Maka titik potong kedua garis singgung tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & (-3,2) \\ (B)\ & (-2,3) \\ (C)\ & (2,-3) \\ (D)\ & (3,-2) \\ (E)\ & (3,2)
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)=x^{2}-4x+5$ dan garis $y=5$, maka titik potong tersebut adalah:
$\begin{align}
y & = x^{2}-4x+5 \\ 5 & = x^{2}-4x+5 \\ 0 & = x^{2}-4x \\ 0 & = (x-4)x \\ x & = 4 \\
x & = 0 \\ \end{align}$
Dua buah garis singgung menyinggung $f(x)$ di titik $(0,5)$ dan $(4,5)$ dengan $m=2x-4$.

Persamaan garis singgung pada $(0,5)$
$\begin{align}
m & = 2x-4=-4 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-5 & = -4(x-0) \\ y-5 & = -4x \\ y+4x & = 5
\end{align}$

Persamaan garis singgung pada $(4,5)$
$\begin{align}
m & = 2x-4=4 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-5 & = 4(x-4) \\ y-5 & = 4x-16 \\ y-4x & = -11
\end{align}$

Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
y+4x = 5 & \\ y-4x = -11 & (+) \\ \hline
2y = -6 & \\ y = -3 & \\ y+4x = 5 & \\ -3+4x = 5 & \\ 4x = 5+3 & \\ x = 2
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2,-3)$

14. Soal UM UGM 2010 Kode 461

|*Soal Lengkap

Garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ berpotongan di $(a,b)$. Nilai $a-b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dua buah garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ meiliki gradien $m=4x^{3}-2x$.

Persamaan garis singgung pada $(1,0)$
$\begin{align}
m = 4x^{3}-2x & = 4(1)^{3}-2(1)=2 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-0 & = 2(x-1) \\ y & = 2x-2
\end{align}$

Persamaan garis singgung pada $(-1,0)$
$\begin{align}
m = 4x^{3}-2x & = 4(-1)^{3}-2(-1)=-2 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-0 & = -2(x+1) \\ y & = -2x-2
\end{align}$

Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
y-2x = -2 & \\ y+2x = -2 & (+) \\ \hline
2y = -4 & \\ y = -2 & \\ y+2x = -2 & \\ -2+4x = -2 & \\ 4x = 0 & \\ x = 0
\end{array} $
Titik potong $(a,b)=(0,-2)$ maka nilai $a-b=0-(-2)=2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

15. Soal SIMAK UI 2009 Kode 931

|*Soal Lengkap

Diketahui $l$ adalah garis yang dinyatakan oleh $det(A)=0$ dimana $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2\\
x & y & 1\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $(3,4)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+y-7=0 \\ (B)\ & x-y+7=0 \\ (C)\ & x-y+1=0 \\ (D)\ & x+y-1=0 \\ (E)\ & x+y+1=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan persamaan garis $l$ kita butuh sedikit catatan untuk menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya adalah nol.
$0=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\
x & y & 1\\
2 & 1 & 3
\end{vmatrix}\left.\begin{matrix}
1 & 1\\
x & y\\
2 & 1
\end{matrix}\right|$
Persamaan garis $l$ adalah
$(1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1)-(2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3)=0$
$(3y+2+2x)-(4y+1+3x)=0$
$ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$
$ 1-y-x=0$
$ 1-x=y$

Persamaan garis sejajar $l$ melalui $(3,4)$
$\begin{align}
m & = -1 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -1(x-3) \\ y-4 & = -x+3 \\ y & = -x+7 \\ \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x+y-7=0$

16. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921

|*Soal Lengkap

Diketahui $P=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 3
\end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix}
-1 & -2\\
1 & 0
\end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ adalah $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6x+y-20=0 \\ (B)\ & 2x-3y-6=0 \\ (C)\ & 3x-2y-4=0 \\ (D)\ & x-6y+16=0 \\ (E)\ & 6x-y-16=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Unsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis adalah sebuah titik dan gradien. Tetapi gradien dapat kita ketahui setelah sedikit belajar kembali tentang perkalian matriks dan determinan matrisk ordo $2 \times 2$, dimana $m=k=|PQ|$

$\begin{align}
m & = |PQ| \\ & = \left | \begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & -2\\
1 & 0
\end{pmatrix} \right | \\ & = \begin{vmatrix}
-1 & -4\\
0 & -6
\end{vmatrix} \\ & = 6-0=6
\end{align}$

Titik $A$
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y = 4 & (\times 2) \\ 3x-2y = 5 & (\times 1) \\ \hline
4x-2y = 8 & \\ 3x-2y = 5 & (-) \\ \hline
x = 3 & \\ 3x-2y = 5 & \\ 3(3)-2y = 5 & \\ y = 2
\end{array} $

Persamaan garis melalui $A(3,2)$ dengan $m=6$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 6(x-3) \\ y & = 6x-18+2 \\ y & = 6x-16
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6x-y-16=0$

17. Soal UMB 2012 Kode 270

|*Soal Lengkap

Jika garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ di titik $(1,-1)$ sejajar dengan garis $2x+y=1$, maka $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -\dfrac{3}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Karena garis singgung sejajar dengan garis $2x+y=1$ $(m=-2)$ maka gradien garis singgung adalah $m=-2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ m & = 2ax+b \\ -2 & = 2a(1)+b \\ -2 & = 2a +b
\end{align}$
Pada titik $(1,-1)$ maka $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ berlaku $-1=a(1)^{2}+b(1)+(a+b)$ atau $2a+2b=-1$

$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b=-2 & \\ 2a+2b=-1 & (-) \\ \hline
-b=-1\ & 2a+b=-2 \\ b= 1\ & 2a+1=-2\\
& a=\dfrac{-1}{2}
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{1}{2}$

18. Soal UM UGM 2008 Kode 482

|*Soal Lengkap

Persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis $6x-10y-7=0$ dan $3x+4y-8=0$ dan tegak lurus dengan garis yang ke-2 adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3y-4x+13=0 \\ (B)\ & 3y-4x+\dfrac{13}{2}=0 \\ (C)\ & 3y+4x-13=0 \\ (D)\ & 3y+4x-\dfrac{13}{2}=0 \\ (E)\ & 3y-4x+10=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
6x-10y-7=0 & (\times 1) \\ 3x+4y-8=0 & (\times 2) \\ \hline
6x-10y-7=0 & \\ 6x+8y-16=0 & (-) \\ \hline
-18y+9=0 & 6x+8y-16=0 \\ 18y = 9 & 6x+8 \cdot \dfrac{1}{2} -16=0 \\ y =\dfrac{1}{2} & x=2
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(2,\dfrac{1}{2})$ dan tegak lurus dengan $3x+4y-8=0$ $(m=-\dfrac{3}{4})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan adalah $m=\dfrac{4}{3}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3}(x-2) \\ y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3} x- \dfrac{8}{3} \\ 3y-\dfrac{3}{2} & = 4 x- 8 \\ 3y-4x-\dfrac{3}{2}+8 & = 0 \\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} & = 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} = 0$

19. Soal UM UGM 2008 Kode 482

|*Soal Lengkap

Agar ketiga garis $3x+2y+4=0$, $x-3y+5=0$ dan $2x+(m+1)y-1=0$ berpotongan di satu titik, maka nilai $m$ haruslah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Agar ketiga garis berpotongan di satu titik, kita coba dengan mencari titik potong dua garis, yaitu:
$\begin{array}{c|c|cc}
3x+2y+4=0 & (\times 1) \\ x-3y+5=0 & (\times 3) \\ \hline
3x+2y+4=0 & \\ 3x-9y+15=0 & (-) \\ \hline
11y-11=0 & 3x-9y+15=0 \\ 11y = 11 & 3x-9 +15=0 \\ y =1 & x=-2
\end{array} $

Titik potong kedua garis di atas juga harus berlaku pada $2x+(m+1)y-1=0$ agar ketiga garis tersebut berpotongan pada satu titik.
$\begin{align}
2x+(m+1)y-1 & = 0 \\ 2(-2)+(m+1)(1)-1 & = 0 \\ -4+ m+1 -1 & = 0 \\ m -4 & = 0 \\ m & = 4
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

20. Soal SNMPTN 2008 Kode 201

|*Soal Lengkap

Persamaan garis singgung pada parabola $y=x^{2}-16x+24$ di titik portongnya dengan sumbu $Y$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=-8x+16 \\ (B)\ & y= 8x-48 \\ (C)\ & y=-16x+24 \\ (D)\ & y=-8x+48 \\ (E)\ & y=16x+24 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Parabola $y=x^{2}-16x+24$ memotong sumbu $Y$ $(x=0)$ adalah pada titik $(0,24)$

Persamaan garis singgung adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ & = 4x-16 \\ m & = 4(0)-16 =-16 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-24 & = -16(x-0) \\ y & = -16x+24
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -16x+24$