Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri

Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri

1. Soal UM UGM 2006 |*

Jika $\dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ maka $\tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{a+1} \\ (B)\ & \dfrac{1}{a+1} \\ (C)\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\ (D)\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\ (E)\ & \dfrac{a}{a-1}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal diatas, ada beberapa data yang kita perlukan, yaitu:

• $\cos\ 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$
• $\cos\ 4\theta=\cos^{2}2\theta-\sin^{2}2\theta$
• $\cos\ \theta=\cos^{2}\frac{1}{2}\theta-\sin^{2}\frac{1}{2}\theta$
• $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
• $\sin^{2}\frac{1}{2}\theta+\cos^{2}\frac{1}{2}\theta=1$
• $\sin\ 2\theta=2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta$
• $\sin\ 4\theta=2\ \sin\ 2\theta\ \cos\ 2\theta$
• $\sin\ \theta=2\ \sin\ \frac{1}{2}\theta\ \cos\ \frac{1}{2}\theta$

Data-data yang kita peroleh diatas kita substitusikan ke soal,
$\begin{align}
a &= \dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta} \\ a &= \dfrac{\cos^{2}\frac{1}{2}\theta-\sin^{2}\frac{1}{2}\theta}{\left ( \sin^{2}\frac{1}{2}\theta+\cos^{2}\frac{1}{2}\theta \right )\left ( 2\ \sin\ \frac{1}{2}\theta\ \cos\ \frac{1}{2}\theta \right )} \\ a &= \dfrac{\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right )\left ( \cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right )^{2}} \\ a &= \dfrac{\left (\cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right )}
\end{align}$

Diketahui $\theta \neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ sehingga $\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \neq 0$, maka dapat dikali silang sehingga berlaku:
$\begin{align}
a\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right ) &= \left (\cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \right ) \\ a\ \cos\frac{1}{2}\theta-a\ \sin\frac{1}{2}\theta &= \cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \\ a\ \cos\frac{1}{2}\theta-\cos\frac{1}{2}\theta &= a\ \sin\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \\ \cos\frac{1}{2}\theta\left (a\ -1 \right ) &= \sin\frac{1}{2}\theta \left (a\ +1 \right ) \\ \dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )} &= \frac{\sin\frac{1}{2}\theta}{\cos\frac{1}{2}\theta} \\ \dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )} &= \tan\frac{1}{2}\theta
\end{align}$

Untuk melengkapi diskusi Matematika Dasar kita tentang Trigonometri beberapa soal tambahan berikut mungkin bermanfaat;

2. Soal UM UGM 2009 |*

Jika $\sin\ A=\sqrt{2pq}$ dan $\tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$, maka $p^{2}+q^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ \sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ \sin^{2}A=2pq$.

Berikutnya diketahui $ tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$\begin{align}
\dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q} \\ \dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &=\dfrac{\sin\ A}{p-q}
\end{align}$
diperoleh persamaan $ \cos\ A=p-q$

Ruas kiri dan kanan persamaan $ \cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$\begin{align}
\left (p-q \right )^{2} &=\cos^{2}A \\ p^{2}+q^{2}-2pq &=\cos^{2}A \\ p^{2}+q^{2} &=\cos^{2}+2pqA \\ &=\cos^{2}+\sin^{2}A \\ &=1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$

3. SIMAK UI 2015 Kode 302 |*

Diketahui $\sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$, dengan $0 \lt \alpha \lt 45^{\circ}$. Nilai dari $\cos(10^{\circ}+\alpha)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}+b \right) \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{(1-b^{2})}-b \right) \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{(1-b^{2})} \right) \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{3(1-b^{2})} \right) \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kita coba kerjakan dengan memisalkan $m=40^{\circ}+ \alpha$ sehingga $m-40^{\circ}=\alpha$.
$\sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$
$\sin\ m=b$
dengan menggunakan identitas dasar trigonometri atau defenisi trigonometri pada segitiga siku-siku, kita peroleh:
$\begin{align}
\sin^{2}\ m+\cos^{2}\ m & = 1 \\ b^{2}+\cos^{2}\ m & = 1 \\ \cos\ m & = \pm \sqrt{1-b^{2}} \\ \end{align}$
Karena $m$ pada kwadran satu maka $ \cos\ m=\sqrt{1-b^{2}}$

$\begin{align}
& \cos(10^{\circ}+\alpha) \\ & = \cos(10^{\circ}+m-40^{\circ}) \\ & = \cos(m-30^{\circ}) \\ & = \cos\ m\ \cos\ 30^{\circ} + \sin\ m\ \sin\ 30^{\circ} \\ & = \sqrt{1-b^{2}} \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) + b\ \left(\dfrac{1}{2} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{1-b^{2}} \left(\sqrt{3} \right) + b \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{3 \left(1-b^{2} \right)} + b \right)
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)$

4. SIMAK UI 2015 Kode 354

Jika $\cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, maka $9\left(\sin^{6}A+\cos^{6}A \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kita ketahui bahwa identitas aljabar atau identitas dasar trigonometri sebagai berikut;

• $ \sin^{2}(2A)+\cos^{2}(2A)=1$
• $ \sin(2A)=2 \sin\ A\ \cos\ A$
• $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$
• $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$
• $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
• $a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})^{3}-3a^{2}b^{2} \left( a^{2}+b^{2} \right)$

$\begin{align}
& \left(sin^{6}A+cos^{6}A \right) \\ & = (\sin^{2}A+\cos^{2}A)^{3}-3\sin^{2}A\ \cos^{2}A \left( \sin^{2}A+\cos^{2}A \right) \\ & = (1)^{3}-3\sin^{2}A\ \cos^{2}A \left( 1 \right) \\ & = 1-3\sin^{2}A\ \cos^{2}A \\ & = 1-3(\sin\ A\ \cos\ A)^{2}
\end{align}$
Dari data yang kita punya yaitu $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ kita peroleh
$\begin{align}
\sin(2A) &=\pm \sqrt{1-\cos^{2}(2A)} \\ \sin(2A) &=\pm \sqrt{1-\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{3} \right)^{2}} \\ \sin(2A) &=\pm \sqrt{1-\left(\dfrac{5}{9} \right) } \\ \sin(2A) &=\pm \sqrt{\dfrac{4}{9}} \\ 2 \sin\ A\ \cos\ A &=\pm \dfrac{2}{3} \\ \sin\ A\ \cos\ A &=\pm \dfrac{1}{3}
\end{align}$

$\begin{align}
& 9 \left(\sin^{6} A+\cos^{6} A \right) \\ & = 9 \left(1 -3 \left( \sin\ A\ \cos\ A\ \right)^{2} \right) \\ & = 9 \left(1 -3 \left( \pm \dfrac{1}{3} \right)^{2} \right) \\ & = 9 \left(1 -3 \left( \dfrac{1}{9} \right) \right) \\ & = 9 \left(1 - \dfrac{1}{3} \right) \\ & = 9 \left( \dfrac{2}{3} \right) = 6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$

5. SIMAK UI 2015 Kode 354

Bentuk identitas trigonometri berikut yang benar adalah...
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x}=\tan\ 2x-\sec\ 2x \\ (2)\ & \tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \dfrac{1-\sin(-2x)}{\cos(2x)} \\ (3)\ & \dfrac{1+2\sin^{2}x}{2\cot(\frac{\pi}{4}+x)\cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}=-1 \\ (4)\ & \dfrac{\cot^{2}2x-1}{2\cot\ 2x}-\cos\ 8x\ \cot\ 4x=\sin\ 8x
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa identitas dasar trigonometri dan manipulais alajabar, maka akan kita peroleh;

Untuk pernyataan (1):
$\begin{align}
& \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \\ &=\dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \times \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x+\sin\ x} \\ &=\dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x+2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos^{2}x-\sin^{2}x} \\ &=\dfrac{1+2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos(2x)} \\ &=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\dfrac{sin(2x)}{\cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\tan(2x) \neq \tan\ 2x-sec\ 2x
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(1)$ Salah.

Untuk pernyataan (2):
$\begin{align}
& \dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)} \\ &=\dfrac{1+sin(2x)}{cos(2x)} \\ &=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\tan(2x) \\ &=\dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \\ &=\dfrac{1+\dfrac{\sin\ x}{\cos\ x}}{1-\dfrac{\sin\ x}{\cos\ x}} \\ &=\dfrac{1+\tan\ x}{1-\tan\ x} \\ &=\dfrac{\tan\ \frac{\pi}{4}+\tan\ x}{\tan\ \frac{\pi}{4}-\tan\ x} \\ &=\tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right)
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(2)$ Benar.

Untuk pernyataan (3):
$\begin{align}
&\dfrac{1+2\sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)\cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{2 \cdot \dfrac{\cos\ x -\sin\ x}{\cos\ x +\sin\ x} \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} (\cos\ x +\sin\ x)} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{(\cos\ x -\sin\ x)(\cos\ x +\sin\ x)} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{\cos^{2} x -\sin^{2} x} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{1-2\sin^{2} x} \neq -1
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(3)$ Salah.

Untuk pernyataan (4):
$\begin{align}
& \dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{cot\ 2x}{2} - \dfrac{1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{\cos\ 2x}{2\sin\ 2x} - \dfrac{\sin\ 2x}{2\cos\ 2x}-\cos\ 8x\ \dfrac{\cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{2\cos^{2} 2x-2\sin^{2} 2x}{4\sin\ 2x\ \cos\ 2x} -\dfrac{\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{2\cos\ 4x}{2 \sin\ 4x} -\dfrac{\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x-\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x\left (1-\cos\ 8x\ \right )}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x\left (\sin^{2}4x+\cos^{2}4x-\cos^{2}4x+\sin^{2}4x \right )}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x\ 2\sin^{2}4x}{\sin\ 4x} \\ &=2sin 4x\ \cos\ 4x\ \\ &=\sin\ 8x
\end{align}$
Kesimpulan: Pernyataan $(4)$ Benar.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$

6. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2\sin^{2}x-\cos\ x=1$, $0 \leq x \leq \pi$, nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (B)\ & \dfrac{2\pi}{3} \\ (C)\ & \pi \\ (D)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\ (E)\ & 2\pi
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$2\sin^{2}x-\cos\ x=1$ dengan bantuan identitas trigonometri $\sin^{2}x=1-\cos^{2}$ sehingga persamaan dapat kita rubah menjadi:
$\begin{align}
2(1-\cos^{2})-\cos\ x & =1 \\
2-2\cos^{2}-\cos\ x & =1 \\
2\cos^{2}+\cos\ x-2+1 & = 0 \\
2\cos^{2}+\cos\ x-1 & = 0 \\ (2\cos\ x -1)(\cos\ x +1) & = 0 \\ \hline
2\cos\ x -1 & = 0 \\ \cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\ x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\ \hline
\cos\ x +1 & = 0 \\ \cos\ x & = -1 \\ x_{2} & = \pi \\ x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}\pi $

7. Soal UM UGM 2014 Kode 522

Jika sudut $\alpha$ memenuhi:
$\cos^{2}\alpha+2 \sin\left ( \pi-\alpha \right )=\sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1\frac{1}{2}$ maka $\sin\ \alpha=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (D)\ & \sqrt{3} \\ (E)\ & 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;

• $\sin\left ( \pi-\alpha \right )=\sin\ \alpha$
• $\sin\left ( \pi+\alpha \right )=-\sin\ \alpha$
• $\cos^{2}\alpha =1-\sin^{2}\alpha$

$\begin{align}
\cos^{2}\alpha+2 \sin\left ( \pi-\alpha \right ) & = \sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1 \dfrac{1}{2} \\
1-\sin^{2}\alpha+2 \sin\ \alpha & = \sin^{2}\alpha +1 \dfrac{1}{2} \\
2\sin^{2}\alpha - 2 \sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} & = 0 \\
\sin^{2}\alpha - \sin\ \alpha - \dfrac{1}{4} & = 0 \\
\left ( \sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} \right )^{2} & = 0 \\
\sin\ \alpha & = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}$

8. Soal SBMPTN 2014 Kode 663

Diketahui segitiga $ABC$ mempunyai panjang sisi $AC=b\ cm$, $BC=a\ cm$, $a+b=12\ cm$. Jika sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$, maka panjang sisi $AB=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12\sqrt{3}-12 \\ (B)\ & 12\sqrt{3}-12 \\ (C)\ & 12-6\sqrt{3} \\ (D)\ & 12+6\sqrt{3} \\ (E)\ & 12\sqrt{3}+12
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$, karena sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$ sehingga berlaku Teorema Pythagoras.

Dari segitiga $ABC$ dan $a+b=12$ kita peroleh:
$\begin{align}
\cos\ 60^{\circ} & = \dfrac{b}{AB} \\
\dfrac{1}{2} & = \dfrac{b}{AB} \\
2b & = AB \\ \hline a+b & = 12 \\
a & = b-12 \\
\end{align}$

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} & = a^{2}+b^{2} \\
\left( 2b \right)^{2} & = \left( b-12 \right)^{2}+b^{2} \\
4b^{2} & = b^{2}-24b+14+b^{2} \\
0 & = 2b^{2}+24b-144 \\ 0 & = b^{2}+12b-72 \\ \hline b_{12} & = \dfrac{-12 \pm \sqrt{12^{2}-4(1)(-72)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{-12 \pm \sqrt{144+288}}{2} \\ & = \dfrac{-12 \pm \sqrt{432}}{2} \\ &= \dfrac{-12 \pm 12 \sqrt{3}}{2} \\ &= -6 \pm 6 \sqrt{3} \\ b & = -6 + 6 \sqrt{3} \\ \hline AB & = 2b \\ & = 2 \left( -6 + 6 \sqrt{3} \right) \\ & = -12 + 12 \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12\sqrt{3}-12$

9. Soal SBMPTN 2014 Kode 683

Jika $\cos\ x=2\sin\ x$, maka nilai $\sin\ x\ \cos\ x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\cos\ x &= 2\sin\ x \\
\dfrac{\cos\ x}{\sin\ x} &= 2 \\
cot\ x &= \dfrac{2}{1}
\end{align}$
Jika $cot\ x= \dfrac{2}{1}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

Dari segitiga $ABC$ dan defenisi perbandingan trigonometri maka kita peroleh:
$\begin{align}
\sin\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
\cos\ x & = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
\hline
\sin\ x\ \cdot \cos\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{2}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2}{5}$

10. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334

Diketahui bahwa $\sqrt[3]{\sin^{2}x}+\sqrt[3]{\cos^{2}x}=\sqrt[3]{2}$, maka $\cos^{2}2x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{27} \\ (B)\ & \dfrac{8}{27} \\ (C)\ & \dfrac{9}{27} \\ (D)\ & \dfrac{25}{27} \\ (E)\ & 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita coba dengan memisalkan $\sqrt[3]{\sin^{2}x}=m$ dan $\sqrt[3]{\cos^{2}x}=n$ sehingga $m^{3}+n^{3}=\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ dan manipulasi aljabar yang dapat kita lakukan pada soal kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
m+n & = \sqrt[3]{2} \\ (m+n)^{3} & = \left(\sqrt[3]{2} \right)^{3} \\ m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = 2 \\ 1+3\cdot \sqrt[3]{\sin^{2}x} \cdot \sqrt[3]{\cos^{2}x} \left( \sqrt[3]{2} \right) & = 2 \\ 3\cdot \sqrt[3]{2\sin^{2}x\ \cos^{2}x} & = 2-1 \\ \sqrt[3]{2\sin^{2}x\ \cos^{2}x} & = \dfrac{1}{3} \\ 2\sin^{2}x\cos^{2}x & = \dfrac{1}{27} \\ \hline
\sin\ 2x = 2\sin\ x\ \cos\ x & \\ \dfrac{1}{2}\sin\ 2x = \sin\ x\ \cos\ x & \\ \hline
2 \left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\ 2 \left( \dfrac{1}{2}\sin\ 2x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\ 2 \cdot \dfrac{1}{4}\sin^{2}2x & = \dfrac{1}{27} \\ \dfrac{1}{2} \left(1-\cos^{2}2x \right) & = \dfrac{1}{27} \\ 1-\cos^{2}2x & = \dfrac{2}{27} \\ 1-\dfrac{2}{27} & = \cos^{2}2x \\ \dfrac{25}{27} & = \cos^{2}2x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{25}{27}$

11. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\cos^{6}x + \sin^{4}x-1 \geq 4x^{4}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\ (C)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\ (D)\ & \dfrac{\pi}{3} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\ (E)\ & 0 \lt x \lt \infty
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\cos^{6}x + \sin^{4}x-1 & \geq 4x^{4} \\ \cos^{6}x + \sin^{4}x-\sin^{2}x - \cos^{2}x & \geq 4x^{4} \\ \cos^{6}x- \cos^{2}x + sin^{4}x-\sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + \sin^{2}x \left( \sin^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + \sin^{2}x \left( \cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x \left(cos^{4}x- 1 + \sin^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x \left(cos^{4}x-\cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{4}x \left(\cos^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{4}x\ \sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\ \cos^{4}x\ \sin^{2}x - 4x^{4} & \geq 0 \\ \left( \cos^{2}x\ \sin\ x - 2x^{2} \right)\left( \cos^{2}x\ \sin\ x + 2x^{2} \right) & \geq 0 \\ \end{align}$
Pembuat nol
$\begin{align}
\cos^{2}x\ \sin\ x - 2x^{2} & = 0 \\ \cos^{2}x\ \sin\ x & = 2x^{2} \\ x & = 0 \\ \hline
\cos^{2}x\ \sin\ x + 2x^{2} & = 0 \\ \cos^{2}x\ \sin\ x & = -2x^{2} \\ x & = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$

12. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333

Jika diketahui bahwa $2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} = 3 \cdot 2^{-\cos\ 2\pi}$, nilai $x$ adalah ....
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{\pi}{2} \\ (2)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (3)\ & \dfrac{3\pi}{2} \\ (4)\ & \pi
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-\cos\ 2\pi} \\ 2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-1} \\ 2 \cdot 2^{\cos\ 2x} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{\cos\ 2x+1} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{2\cos^{2}x-1+1} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{2\cos^{2}x} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ \left( 2^{\cos^{2}x} \right)^{2}+ 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} - 3 & = 0 \\ \hline
m^{2}+ 2 \cdot m - 3 & = 0 \\ (m+3)(m-1) & = 0 \\ m=-3\ \text{atau}\ m= 1 & \\ \hline
\Rightarrow 2^{\cos^{2}x} & = -3\ \text{(TM)} \\ \Rightarrow 2^{\cos^{2}x} & = 1 \\ 2^{\cos^{2}x} & = 2^{0} \\
\cos^{2}x & = 0 \\ x & = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}, \cdots \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$

13. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332

Diketahui bahwa $\dfrac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin\ x\ \cos\ x}=a$, maka $\cot^{2}x+\tan^{2}x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & a^{2}+2 \\ (B)\ & a^{2}+1 \\ (C)\ & a^{2} \\ (D)\ & 1-a^{2} \\ (E)\ & 2-a^{2} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\dfrac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin\ x\ \cos\ x} & = a \\ \dfrac{\cos\ 2x}{\frac{1}{2} \cdot \sin\ 2x} & = a \\ \dfrac{\cos\ 2x}{\sin\ 2x} & = \dfrac{1}{2}a \\ \cot\ 2x & = \dfrac{1}{2}a
\end{align}$
Jika $cot\ 2x= \dfrac{a}{2}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

$\begin{align}
\cot^{2}x+\tan^{2}x & = \dfrac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} \\ & = \dfrac{cos^{4}x+sin^{4}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} \\ & = \dfrac{\left( \sin^{2}x+\cos^{2}x \right)^{2}-2\sin^{2}x\ \cos^{2}x}{\left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1-2 \left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2}}{\left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1-2 \left( \frac{1}{2} \sin\ 2x \right)^{2}}{\left( \frac{1}{2}\sin\ 2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2}2x}{ \frac{1}{4}\sin^{2} 2x} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2} }{ \frac{1}{4} \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}} \\ & = \dfrac{1- \frac{2}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{a^{2}+4}} \\ & = \dfrac{a^{2}+4-2}{a^{2}+4} \cdot \dfrac{a^{2}+4}{1} \\ & = a^{2}+2 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan By Heriady Gultom

$\begin{align}
cot^{2}x+\tan^{2}x & = \dfrac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} \\ & = \dfrac{cos^{4}x+sin^{4}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} \\ & = \dfrac{ \left[ \cos^{2}x-\sin^{2}x \right]^{2}+2\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} \\ & = \dfrac{\left[ \cos^{2}x-\sin^{2}x \right]^{2} }{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} + \dfrac{ 2\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}\\ & = \left[ \dfrac{ \cos^{2}x-\sin^{2}x }{\sin\ x \cdot \cos\ x}\right]^{2} + \dfrac{ 2\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x}\\ & = \left[ a \right]^{2} + 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{2}+2$

14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331

Jika diketahui bahwa $\cos\ \frac{1}{2} \theta =\sqrt{\dfrac{x+1}{2x}}$, maka $x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \tan^{2}\theta+\sin^{2}\theta \\ (B)\ & \tan^{2}\theta-\sin^{2}\theta \\ (C)\ & \sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta \\ (D)\ & \cos^{2} \frac{1}{2}\theta+\tan^{2} \frac{1}{2}\theta \\ (E)\ & \sin^{2} \frac{1}{2}\theta+\tan^{2} \frac{1}{2}\theta \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\cos\ \frac{1}{2} \theta & = \sqrt{\dfrac{x+1}{2x}} \\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = \dfrac{x+1}{2x} \\ 2x \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = x+1 \\ 2x \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - x& = 1 \\ x \left( 2 \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1 \right) & = 1
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $x$, yaitu:
$\begin{align}
x & = \dfrac{1}{ 2\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1} \\ x & = \dfrac{1}{ 2\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - \sin^{2} \frac{1}{2} \theta-\cos^{2} \frac{1}{2} \theta} \\ x & = \dfrac{1}{ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - \sin^{2} \frac{1}{2} \theta} \\ x & = \dfrac{1}{ \cos\ \theta}
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}
& = \left( \dfrac{1}{ \cos\ \theta} \right)^{2}- \left( \cos\ \theta \right)^{2} \\ & = \dfrac{1}{ \cos^{2} \theta} - \cos^{2} \theta \\ & = \dfrac{1-cos^{4} \theta}{ \cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\left( 1-\cos^{2} \theta \right)\left( 1+\cos^{2} \theta \right)}{ \cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\sin^{2} \theta \cdot \left( 1+\cos^{2} \theta \right)}{ \cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} \cdot \left( 1+\cos^{2} \theta \right) \\ & = \dfrac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}+\sin^{2} \theta \\ & = \tan^{2} \theta +\sin^{2} \theta \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \tan^{2}\theta+\sin^{2}\theta$

15. Soal UM UGM 2013 Kode 251

Jika $1-\cot\ a=-\dfrac{1}{3}$ maka nilai $\sin\ 2a+\cos\ 2a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{17}{25} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{6}{5} \\ (D)\ & \dfrac{31}{25} \\ (E)\ & \dfrac{7}{5}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
1-\cot\ a & = -\dfrac{1}{3} \\ 1+\dfrac{1}{3} & = \cot\ a \\ \dfrac{4}{3} & = \cot\ a
\end{align}$
Jika $\cot\ a = \dfrac{4}{3}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

$\begin{align}
& \sin\ 2a+\cos\ 2a
\\ & = 2\ \sin\ a\ \cos\ a + \cos^{2}a-\sin^{2}a \\ & = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} + \left( \dfrac{4}{5} \right)^{2} - \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\ & = \dfrac{24}{25} + \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} \\ & = \dfrac{31}{25}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{31}{25}$

16. Soal UM UGM 2013 Kode 251

Hasil penjumlahan semua penyelesaian $\sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{1}{2}$ untuk $0 \lt x \lt 2\pi$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\ (B)\ & 2\pi \\ (C)\ & \dfrac{8}{3}\pi \\ (D)\ & \dfrac{10}{3}\pi \\ (E)\ & \dfrac{14}{3}\pi
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2} \\ \sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\ \sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$

Dengan menggunkan persamaan trigonometri untuk sinus:
Jika $\sin\ x = \sin\ \alpha$ maka $x=\alpha+k \cdot 360$ atau $x=180-\alpha+k \cdot 360$

$\begin{align}
\sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin \left( x- 30 \right) &= \sin\ 45 \\ \hline
x- 30 &= 45+k \cdot 360 \\ x &= 75+k \cdot 360 \\ x &= 75 \\ \hline
x- 30 &= 180-45+k \cdot 360 \\ x &= 165+k \cdot 360 \\ x &= 165
\end{align}$

$\begin{align}
\sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin \left( x- 30 \right) &= \sin\ 225 \\ \hline
x- 30 &= 225+k \cdot 360 \\ x &= 255+k \cdot 360 \\ x &= 255 \\ \hline
x- 30 &= 180-225+k \cdot 360 \\ x &= -15+k \cdot 360 \\ x &= 345
\end{align}$
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $345+225+165+75=840$ atau $\dfrac{14}{3}\pi$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{14}{3}\pi$

17. Soal SBMPTN 2013 Kode 130

$\cot\ 105^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7+4\sqrt{3} \\ (B)\ & 7+4\sqrt{3} \\ (C)\ & 7-4\sqrt{3} \\ (D)\ & -7-4\sqrt{3} \\ (E)\ & -7+2\sqrt{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:

• $\cot\ (90+\alpha)= -\tan\ \alpha$
• $\tan\ (\alpha-\beta)= \dfrac{\tan\ \alpha -\tan\ \beta}{1+\tan\ \alpha \cdot \tan\ \beta}$

$\begin{align}
\cot\ 105^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ} & = \cot\ \left( 90^{\circ}+15^{\circ} \right)\ \tan\ 15^{\circ} \\
& = -\tan\ 15^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ} \\
\hline
\tan \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)
&= \dfrac{\tan\ 45^{\circ}-\tan\ 30^{\circ}}{1+\tan\ 45^{\circ} \cdot \tan\ 30^{\circ}} \\
&= \dfrac{1- \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1 \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{3} \left( 3-\sqrt{3} \right) }{\dfrac{1}{3} \left( 3+\sqrt{3} \right)} \\
&= \dfrac{ 3-\sqrt{3} }{ 3+\sqrt{3} } \\
& =\dfrac{ 3-\sqrt{3} }{ 3+\sqrt{3} } \cdot \dfrac{ 3- \sqrt{3}}{ 3- \sqrt{3} } \\
& =\dfrac{ 9-6\sqrt{3}+3 }{ 9-3 } \\
& =2-\sqrt{3} \\ \hline
& = -\tan\ 15^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ} \\
& = -\left( 2- \sqrt{3} \right)\ \left( 2- \sqrt{3} \right) \\
& = -\left( 4- 4\sqrt{3}+3 \right) \\
& = -\left( 7- 4\sqrt{3} \right) \\
& = -7+ 4\sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7+4\sqrt{3}$

18. Soal SBMPTN 2013 Kode 130

Jika $\sin\ \alpha -\sin\ \beta =\sqrt{A}$ dan $\cos\ \alpha +\cos\ \beta =\sqrt{B}$, maka $cos(\alpha + \beta)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & A+B-1 \\ (B)\ & \dfrac{A+B-1}{2} \\ (C)\ & A+B-2 \\ (D)\ & \dfrac{A+B-2}{2} \\ (E)\ & \dfrac{A+B-2}{4}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:

• $\cos\ \left(\alpha+\beta \right)= \cos\ \alpha\ \cos \beta - \sin\ \alpha\ \sin \beta$
• $\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha= 1$

$\begin{array} \\ \sin\ \alpha -\sin\ \beta =\sqrt{A} & \\ \cos\ \alpha +\cos\ \beta =\sqrt{B} & \\ \hline
\sin^{2}\alpha +\sin^{2}\beta-2\ \sin\ \alpha\ \sin \beta = A & \\ \cos^{2}\alpha +\cos^{2}\beta+2\ \cos\ \alpha\ \cos \beta = B & (+) \\ \hline
1+1-2\ \sin\ \alpha\ \sin \beta+2\ \cos\ \alpha\ \cos \beta=A+B \\ -2\ \sin\ \alpha\ \sin \beta+2\ \cos\ \alpha\ \cos \beta=A+B-2 \\ 2\left(\cos\ \alpha\ \cos \beta - \sin\ \alpha\ \sin \beta \right)=A+B-2 \\ \left(\cos\ \alpha\ \cos \beta - \sin\ \alpha\ \sin \beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2} \\ \cos\ \left(\alpha+\beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2}
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{A+B-2}{2}$

19. Soal UMB 2013 Kode 372

Perhatikan kurva fungsi trigonometri di bawah

Jika $f(x)=a+b\ \sin\ cx$, maka $a+b+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 4\dfrac{1}{4}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$

• $A$ adalah Amplitudo
• $T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
• $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
• $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
• Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
• Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$
• Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi naik maka fungsi adalah fungsi sinus.
• Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi turun maka fungsi adalah fungsi cosinus.

Kita coba perhatikan gambar;

• Kurva melalui titik $(0,2)$ lalu kurva turun, seharusnya adalah kurva cosinus, tetapi karena diinginkan menjadi $f(x)=a+b\ \sin\ cx$ maka kurva adalah fungsi $f(x)=a-b\ \sin\ cx$.
• Kurva bergeser sejauh $+\ 2$ ke atas dari titik asal sehingga untuk $f(x)=a-b\ \sin\ cx$ nilai $a=2$
• Nilai Maksimum fungsi $f(x)=2-b\ \sin\ cx$ adalah $4$ sehingga $\left | b \right | +2=4$ atau $b= 2$
• Periode kurva $T=4\pi=\dfrac{2 \pi}{k}$ maka $k=\dfrac{2 \pi}{4 \pi}=\dfrac{1}{2}$
• Kurva lengkap $f(x)=2-2\ \sin\ \dfrac{1}{2}x$, nilai $a+b+c=2-2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}$

20. Soal UMB 2013 Kode 172

Grafik fungsi $y=-2-\cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$
$(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$
$(B)\ $ Terletak di atas sumbu $x$
$(C)\ $ Menyinggung sumbu $x$ di banyak titik
$(D)\ $ Memotong sumbu $x$ di banyak titik
$(E)\ $ Tidak memotong sumbu $y$

Alternatif Pembahasan:

Grafik Fungsi $y=-2-\cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$.

• Amplitudo adalah $-1$
• Nilai Maksimum fungsi: $\left |-1 \right | - 2=-1 $
• Nilai Minimum fungsi: $-\left |-1 \right | -2=-3$
• Periode kurva $T=\dfrac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=4$

Grafik fungsi $y=-2-\cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$ terletak di bawah sumbu $x$ karena nilai maksimumny adalah $-1$ dan nilai minimumnya adalah $-3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$