41. Soal SPMB 2004 Kode 741
Jika $\alpha$ dan $\beta$ merupakan sudut lancip dari suatu segitiga siku-siku dan $\tan\ \alpha = \sqrt{2}\ \sin\ \beta$, maka $\sin^{2}\alpha =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{5} \\ (B)\ & \dfrac{3}{4} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{1}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $\alpha$ dan $\beta$ merupakan sudut lancip dari suatu segitiga siku-siku sehingga berlaku $\alpha+\beta =90^{\circ}$.
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\tan\ \alpha &= \sqrt{2}\ \sin\ \beta \\
\tan\ \alpha &= \sqrt{2}\ \sin\ \left( 90^{\circ}-\alpha \right) \\
\dfrac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha} &= \sqrt{2}\ \cos\ \alpha \\
\sin\ \alpha &= \sqrt{2}\ \cos^{2}\alpha \\
\sin\ \alpha &= \sqrt{2}\ \left( 1-\sin^{2}\alpha \right) \\
\sin\ \alpha &= \sqrt{2}-\sqrt{2}\ \sin^{2}\alpha \\
0 &= \sqrt{2}\ \sin^{2}\alpha +\sin\ \alpha - \sqrt{2} \\
0 &= \left( \sqrt{2}\ \sin\ \alpha - 1 \right)\left( \sin\ \alpha + \sqrt{2} \right) \\ \sin\ \alpha & = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{atau}\ \sin\ \alpha = -\sqrt{2}
\end{align}$
karena $\alpha$ merupakan sudut lancip maka $\sin\ \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dan $\sin^{2}\alpha = \dfrac{1}{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}$
42. Soal SPMB 2004 Kode 140
Jika $\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $C$ dan memenuhi $2\ \tan\ A = \sin\ B$, maka $\sin\ A=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (C)\ & \sqrt{2}-1 \\ (D)\ & \sqrt{3}-1 \\ (E)\ & \sqrt{3}-\sqrt{2} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $C$ sehingga $A$ dan $B$ merupakan sudut lancip dan berlaku $A+B =90^{\circ}$.
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
2\ \tan\ A &= \sin\ B \\
2\ \tan\ A &= \sin\ \left( 90^{\circ}-A \right) \\
2\ \dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &= \cos\ A \\
2\ \sin\ A &= \cos^{2} A \\
2\ \sin\ A &= 1-\sin^{2}A \\
0 &= \sin^{2} A + 2 \sin\ A - 1 \\
\hline
\sin\ A_{12} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{(2)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
karena $A$ merupakan sudut lancip maka $\sin\ A = -1 + \sqrt{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{2}-1$
43. Soal SPMB 2005 Kode 772
Jika sudut $\theta$ di kuadran IV dan $\cos\ \theta=\dfrac{1}{a}$, maka $\sin\ \theta=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\sqrt{a^{2}-1} \\ (B)\ & -\sqrt{1-a^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{-1}{\sqrt{a^{2}-1}} \\ (D)\ & \dfrac{-\sqrt{a^{2}-1}}{a} \\ (E)\ & \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta &= 1 \\
\sin^{2}\theta+\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} &= 1 \\
\sin^{2}\theta + \dfrac{1}{a^{2}} &= 1 \\
\sin^{2}\theta &= 1 - \dfrac{1}{a^{2}} \\
\sin^{2}\theta &= \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a^{2}} \\
\sin\ \theta &=\pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a^{2}}} \\
\sin\ \theta &=\pm \dfrac{\sqrt{\sqrt{a^{2}-1}}}{a}
\end{align}$
karena $\theta$ di kuadran IV maka $\sin\ \theta =- \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-\sqrt{a^{2}-1}}{a}$
44. Soal SPMB 2005 Kode 270
Nilai $x$ yang memenuhi $2\ \cos^{2}x+\cos\ x-1=0$, untuk $0 \leq x \leq \pi$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \pi\ \text{atau}\ \pi \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{2}{3} \pi \\
(C)\ & \dfrac{1}{3} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{3}{4} \pi \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{3}{4} \pi \\
(E)\ & \dfrac{1}{4} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{2}{3} \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan konsep pada persamaan kuadrat untuk menentukan nilai akar-akar persamaan kudrat dan nilai perbandingan trigonometri, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
2\ \cos^{2}x+\cos\ x -1 &= 0 \\
\left( 2\ \cos\ x -1 \right)\left( \cos\ x + 1 \right) &= 0 \\
\cos\ x = \dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \cos\ x = -1 & \\
\end{align}$
Saat $\cos\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=60^{\circ},\ 300^{\circ}, \cdots$
dan saat $\cos\ x = -1$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^{\circ},\ 540^{\circ}, \cdots$.
Karena $0 \leq x \leq \pi$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $60^{\circ},\ 180^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{3} \pi\ \text{dan}\ \pi$
45. Soal SPMB 2005 Kode 280
Himpunan penyelesaian persamaan $\cos\ 2x + \cos\ x =0$, dimana $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ 0,\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3} \right \} \\ (B)\ & \left \{ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{2\pi}{3},\ \pi \right \}\\ (C)\ & \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{4\pi}{3} \right \} \\ (D)\ & \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \} \\ (E)\ & \left \{ \dfrac{2\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan konsep pada persamaan kuadrat untuk menentukan nilai akar-akar persamaan kuadrat dan nilai perbandingan trigonometri, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\cos\ 2x + \cos\ x &= 0 \\
\cos^{2}x-\sin^{2}x + \cos\ x &= 0 \\
\cos^{2}x-\left( 1 - \cos^{2}x \right) + \cos\ x &= 0 \\
\cos^{2}x- 1 + \cos^{2}x + \cos\ x &= 0 \\
2\cos^{2}x+\cos\ x -1&= 0 \\
\left( 2\cos\ x - 1 \right)\left(\cos\ x + 1 \right) &= 0 \\
\cos\ x = \dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \cos\ x = -1 & \\
\end{align}$
Saat $\cos\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=60^{\circ},\ 300^{\circ}, \cdots$
dan saat $\cos\ x = -1$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^{\circ},\ 540^{\circ}, \cdots$.
Karena $0 \leq x \leq 2\pi$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $60^{\circ},\ 180^{\circ}, 300^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \}$
46. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324
Jika $a-b=\sin\ \theta$ dan $\sqrt{2ab}=\cos\ \theta$, maka $\left( a+b \right)^{2}=\cdots$$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{2} \left(1+\cos\ 2 \theta \right) \\ (B)\ & \frac{1}{2} \left(2+\cos\ 2 \theta \right) \\ (C)\ & \frac{1}{2} \left(3+\cos\ 2 \theta \right) \\ (D)\ & \frac{1}{2} \left(1+2 \cos\ 2\theta \right) \\ (E)\ & \frac{1}{2} \left(1+3 \cos\ 2\theta \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan manipulasi aljabar, dapat kita tuliskan:
$\begin{align} a-b & = \sin\ \theta \\ \left(a-b \right)^{2} & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2}-2ab & = \sin^{2} \theta \\ \hline \sqrt{2ab} & =\cos\ \theta \\ 2ab & =\cos^{2} \theta \\ \hline a^{2}+b^{2}-2ab & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2}-\cos^{2} \theta & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2} & = \sin^{2}+\cos^{2} \theta \theta \\ a^{2}+b^{2} & = 1 \end{align}$
$\begin{align} \left(a+b \right)^{2} & = a^{2}+b^{2}+2ab \\ & = 1+\cos^{2} \theta \\ & = 1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\cos\ 2\theta \\ & = \frac{1}{2} \left( 3+ \cos\ 2\theta \right) \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2} \left(3+\cos\ 2 \theta \right)$
47. Soal UM UGM 2019 Kode 634
Jika $\cos\ \alpha=\dfrac{1}{3}$, maka
$ \dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} =\cdots$$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\sqrt{2}-4}{12} \\ (B)\ & \dfrac{\sqrt{2}-4}{6} \\ (C)\ & \dfrac{\sqrt{2}-4}{3} \\ (D)\ & \sqrt{2}-4 \\ (E)\ & \sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;
- $\sin\left ( \pi+\alpha \right )=-\sin\ \alpha$
- $\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=\cos\ \alpha$
- $\sin^{2}\alpha =1-\cos^{2}\alpha$
$\begin{align} \sin^{2}\alpha & = 1-\cos^{2}\alpha \\ & = 1- \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} \\ & = 1- \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \\ \sin\ \alpha & = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{2} \\ \tan\ \alpha & = \dfrac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha}=\dfrac{\frac{2}{3}\sqrt{2}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2} \\ \hline & \dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\sin\ \alpha + \cos\ \alpha }{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} +\dfrac{\frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = -\dfrac{1}{3 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = -\dfrac{4}{12 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 } \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 }$
48. Soal UM UGM 2019 Kode 624
Jika $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$, maka nilai minimum dari $\cot\ \left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan\ \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right)$ tercapai saat $x=\cdots$$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & -\dfrac{\pi}{12} \\ (C)\ & -\dfrac{\pi}{9} \\ (D)\ & -\dfrac{\pi}{8} \\ (E)\ & -\dfrac{\pi}{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Interval nilai $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$ dapat juga kita tuliskan dengan $-30^{\circ} \leq x \leq 0$.
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri, salah satu cara untuk mendapatkan nilai minimum dari fungsi di atas adalah:
$\begin{align} y &= cot\ \left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan\ \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right) \\ &= cot\ \left( x+ 60^{\circ} \right)-\tan\ \left( 120^{\circ}-x \right) \\ &= \tan\ \left( 90^{\circ} - \left( x+ 60^{\circ} \right) \right)-\tan\ \left( 90^{\circ}+30^{\circ}-x \right) \\ &= \tan\ \left( 30^{\circ} - x \right)+\cot\ \left( 30^{\circ} -x \right) \\ &= \dfrac{\sin\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)}+ \dfrac{\cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin\ \left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{\sin^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)+\cos^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin\ \left( 30^{\circ} - x \right) \cdot \cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{1}{\frac{1}{2} \cdot \sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \\ &= \dfrac{2}{\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \end{align}$
Nilai fungsi $y= \dfrac{2}{\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)}$ akan minimum saat nilai $\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)$ maksimum yaitu $1$. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 1 \\ \sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= \sin\ 90^{\circ} \\ \hline 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 90^{\circ} \\ 30^{\circ} - x &= 45^{\circ} \\ - x &= 45^{\circ}-30^{\circ} \\ x &= -15^{\circ}=-\dfrac{\pi}{12} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{\pi}{12}$
49. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924
Jika $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ dan $x$ memenuhi $5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x \geq 1$, maka himpunan semua $y=\tan\ x$ adalah...$\begin{align}
(A)\ & \left \{ y \in \mathbb{R}: -1 \leq y \leq 4 \right \} \\ (B)\ & \left \{ y \in \mathbb{R}: -4 \leq y \leq 1 \right \}\\ (C)\ & \left \{ y \in \mathbb{R}: -4 \leq y \leq -1 \right \} \\ (D)\ & \left \{ y \in \mathbb{R}: 1 \leq y \leq 4 \right \} \\ (E)\ & \mathbb{R}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x & \geq 1 \\ 5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x & \geq \sin^{2}x+\cos^{2}x \\ 5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x -\sin^{2}x-\cos^{2}x& \geq 0 \\ 4\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x -\sin^{2}x & \geq 0 \\ \hline \text{dibagi}\ \cos^{2} x & \\ \hline \dfrac{4\cos^{2} x}{\cos^{2} x} +\dfrac{3 \sin\ x\ \cos\ x}{\cos^{2} x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 +\dfrac{3 \sin\ x }{\cos\ x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 + 3 \tan\ x -tan^{2}x & \geq 0 \\ \tan^{2}x - 3 \tan\ x - 4 & \leq 0 \\ y^{2} - 3y - 4 & \leq 0 \\ \left ( y-4 \right )\left ( y+1 \right ) & \leq 0 \\ y=4\ \text{atau}\ y=-1 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 \leq y \leq 4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ y \in \mathbb{R}: -1 \leq y \leq 4 \right \}$
50. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924
Jika $\sin\ x + \sin\ 2x+ \sin\ 3x=0$ untuk $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka $\tan\ 2x =\cdots$$\begin{align} (A)\ & -\sqrt{3} \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{3} \sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \sin\ x + \sin\ 2x+ \sin\ 3x & =0 \\ \sin\ x + \sin\ 3x+ \sin\ 2x & =0 \\ 2\ \sin\ \left(\frac{x+3x}{2} \right)\ \cos\ \left(\frac{x-3x}{2} \right) + \sin\ 2x & =0 \\ 2\ \sin\ 2x\ \cos\ \left( -x \right) + \sin\ 2x & =0 \\ 2\ \sin\ 2x\ \cos\ x + \sin\ 2x & =0 \\ \sin\ 2x \left( 2\cos\ x + 1 \right) & =0 \\ \sin\ 2x=0\ \text{atau}\ \cos\ x + 1=0 & \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} \sin\ 2x &= 0 \\ \sin\ 2x &=\sin\ 0 \\ x &= 0\ \text{(TM)} \\ \hline 2\cos\ x + 1 &= 0 \\ 2\cos\ x &= -1\\ \cos\ x &= -\dfrac{1}{2} \\ \cos\ x &= \cos\ 120 \\ x &= 120 \\ \hline \tan\ 2x & = \tan\ 240 \\ & = \sqrt{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{3}$
51. Soal UM UGM 2019 Kode 934
Jika $\tan x=2$, maka $\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\cdots$$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari nilai $\tan x=2$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} & = \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} \cdot \dfrac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\tan x+1}{\tan x-1} \\ & = \dfrac{2+1}{2-1} = 3 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$
52. Soal UM UGM 2019 Kode 934
Jika $x$ adalah sudut, dengan $90^{\circ} \lt x \lt 180^{\circ}$ dan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$, maka $\cos x = \cdots $$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2\sqrt{3}} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$ dan beberapa identitas trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align} 4-2 \cos^{2} x &= 5 \sin x \\ 4-2 \left( 1- \sin^{2}x \right) &= 5 \sin x \\ 4-2 +2 \sin^{2}x &= 5 \sin x \\ 2 \sin^{2}x - 5 \sin x +2 &= 0 \\ \left( 2 \sin x - 1 \right) \left( \sin x - 2 \right) &= 0 \\ \sin x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ \sin x = 2\ & \text{(TM)} \\ \hline \sin x=\frac{1}{2} & \longrightarrow x=150^{\circ} \\ \cos 150^{\circ} &= \cos \left( 180^{\circ}- 30^{\circ} \right) \\ &= -\cos 30^{\circ} \\ &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
53. Soal SPMB 2004 Kode 440
Pada $\bigtriangleup ABC$ diketahui $\angle B=45^{\circ}$ dan $CT \perp AB$. Jika $BC=x$ dan $AT=1\frac{1}{2}\sqrt{x}$, maka $\cos x=\cdots$$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\ (B)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{2} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{3}{5}\sqrt{5} \\ (E)\ & \dfrac{3}{10}\sqrt{10} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kta gambarkan segitiga $ABC$ seperti yang disampaikan pada soal, ilustrasinya seperti berikut ini:
Pada segitiga siku-siku $CBT$, karena $\angle B=45^{\circ}$ maka berlaku:
$\begin{align} \\sin\ 45^{\circ} &= \dfrac{CT}{BC} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} &= \dfrac{CT}{x} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}x &= CT \end{align}$
Pada segitiga siku-siku $ACT$, berlaku:
$\begin{align} AC^{2} &= AT^{2}+CT^{2} \\ AC^{2} &= \left(\frac{3}{2}\sqrt{2}x \right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}x \right)^{2} \\ AC^{2} &= \frac{9}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}x^{2}=5x^{2} \\ AC &= \sqrt{5x^{2}} = x\sqrt{5} \\ \hline \cos\ A &= \dfrac{AT}{AC} \\ &= \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt{2}x}{x\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5} }{\sqrt{5}} \\ &= \dfrac{3}{10}\sqrt{10} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{3}{10}\sqrt{10}$
54. Soal SPMB 2004 Kode 440
Pada $\bigtriangleup ABC$ diketahui titik $D$ adalah titik tengah $AC$. Jika $BC=a$, $AC=B$, $AB=c$ dan $BD=d$, maka $d^{2}=\cdots$$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{4}b^{2}-\frac{1}{2}c^{2} \\ (B)\ & \frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2} \\ (C)\ & \frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}-\frac{1}{2}c^{2} \\ (D)\ & -\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{4}b^{2}-\frac{1}{2}c^{2} \\ (E)\ & \frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan segitiga $ABC$ seperti yang disampaikan pada soal, ilustrasinya seperti berikut ini:
Pada $\bigtriangleup ABD$ dan $\bigtriangleup ABC$, dapat kita terapakn aturan cosinus yaitu:
$\begin{align} d^{2} &= c^{2} + \left( \frac{1}{2}b \right)^{2} -2 \cdot \left( \frac{1}{2}b \right) \cdot \left( c \right)\ \cos\ A \\ &= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - bc \cdot \cos A \\ &= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - bc \cdot \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \\ &= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2} \\ &= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - \frac{1}{2}b^{2} - \frac{1}{2}c^{2} + \frac{1}{2}a^{2} \\ &= \frac{1}{2}a^{2} - \frac{1}{4}b^{2} + \frac{1}{2}c^{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}$
55. Soal SPMB 2004 Kode 241
Jika $0 \lt x \lt \frac{1}{2} \pi $ dan $\cos x =p$, maka $\tan\ x + \sin x=\cdots$$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-1+p\sqrt{1+p^{2}}}{1+p^{2}} \\ (B)\ & \dfrac{-1+p\sqrt{1+p^{2}}}{p} \\ (C)\ & \dfrac{-1+p}{p} \sqrt{1-p^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{1+p}{p}\sqrt{1-p^{2}} \\ (E)\ & \dfrac{1+p}{p^{2}}\sqrt{1-p^{2}} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita misalkan sudut $x$ dan $\cos x =p$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini:
Dari segitiga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \tan\ x + \sin x \\ &= \dfrac{\sqrt{1-p^{2}}}{p} + \sqrt{1-p^{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{1-p^{2}}}{p} + \dfrac{p\sqrt{1-p^{2}}}{p} \\ &= \dfrac{\sqrt{1-p^{2}}+p\sqrt{1-p^{2}}}{p} \\ &= \dfrac{ \left( 1+p \right) }{p}\sqrt{1-p^{2}} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1+p}{p}\sqrt{1-p^{2}}$
56. Soal SPMB 2004 Kode 640
Jika $2 \tan^{2} x + 3 \tan x -2 = 0$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $, maka $\sin x + \cos x=\cdots$$\begin{align} (A)\ & -\frac{3}{5} \sqrt{5} \\ (B)\ & -\frac{1}{5} \sqrt{5} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \frac{1}{5} \sqrt{5} \\ (E)\ & \frac{3}{5} \sqrt{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 2 \tan^{2} x + 3 \tan x -2 &= 0 \\ \left(2 \tan x -1 \right)\left( \tan x + 2 \right) &= 0 \\ \tan x = \frac{1}{2}\ \text{atau} \tan x = -2 & \end{align}$
Karena $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $ maka yang kita pakai adalah $\tan x = -2$
Jika kita misalkan sudut $x$ dan $\tan x = -2$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini:
Dari segitiga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align} \sin\ x + \cos x &= \dfrac{2}{\sqrt{5}} - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{5} \sqrt{5} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{5} \sqrt{5}$
57. Soal SPMB 2004 Kode 541
Jika $x$ memenuhi $\sin^{2} x - \sin x + \frac{1}{4} = 0$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $, maka $\cos x=\cdots$$\begin{align} (A)\ & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ (B)\ & -\frac{1}{2} \sqrt{2} \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ (E)\ & \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \sin^{2} x - \sin x + \frac{1}{4} &= 0 \\ 4\sin^{2} x - 4\sin x + 1 &= 0 \\ \left(2 \sin x - 1 \right)\left( 2 \sin x - 1 \right) &= 0 \\ \sin x = \frac{1}{2}\ \text{atau} \sin x = \frac{1}{2} & \end{align}$
Untuk $\sin x = \frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $ maka $x=150^{\circ}$. Nilai $\cos 150^{\circ}=-\frac{1}{2} \sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{1}{2} \sqrt{3}$
58. Soal SPMB 2005 Kode 470
Pada $\bigtriangleup ABC$ dengan sisi $a,b,$ dan $c$ berlaku $a^{2}-b^{2}=c^{2}-bc$. Besarnya sudut $A$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 15^{\circ} \\ (B)\ & 30^{\circ} \\ (C)\ & 45^{\circ} \\ (D)\ & 60^{\circ} \\ (E)\ & 75^{\circ} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} a^{2} &= b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos A \\ \hline &\ a^{2}-b^{2}=c^{2}-bc \\ &\ a^{2} =b^{2}+c^{2}-bc \\ \hline b^{2}+c^{2}-bc &= b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos A \\ -bc &= -2bc\ \cos A \\ \dfrac{-bc}{-2bc} &= \cos A \\ \dfrac{1}{2} &= \cos A \longrightarrow A =60^{\circ} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 60^{\circ}$
59. Soal SPMB 2005 Kode 470
Panjang bayangan sebuah menara adalah $12\ \text{meter}$. Jika sudut elevasi matahari pada saat itu $60^{\circ}$, maka tinggi menara adalah...$\begin{align} (A)\ & 4\sqrt{3}\ \text{meter} \\ (B)\ & 6\sqrt{3}\ \text{meter} \\ (C)\ & 8\sqrt{3}\ \text{meter} \\ (D)\ & 12\sqrt{3}\ \text{meter} \\ (E)\ & 16\sqrt{3}\ \text{meter} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan menara dan sudut elevasinya, gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dapat kita hitung tinggi menara dengan menggunakan tangen,
$\begin{align} \tan 60^{\circ} &= \dfrac{\text{tinggi menara}}{\text{panjang bayangan}} \\ \sqrt{3} &= \dfrac{\text{tinggi menara}}{12\ m} \\ 12\sqrt{3}\ m &= \text{tinggi menara} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12\sqrt{3}\ \text{meter}$
60. Soal SPMB 2005 Kode 772
Bilangan bulat terkecil $n$ yang memenuhi $n \cdot \cos \frac{1}{6} \pi \gt 30$ adalah...$\left(*\text{gunakan}\ \sqrt{3}=1,732 \right)$$\begin{align} (A)\ & 32 \\ (B)\ & 34 \\ (C)\ & 35 \\ (D)\ & 36 \\ (E)\ & 38 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari pertidaksamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} n \cdot \cos \frac{1}{6} \pi & \gt 30 \\ n \cdot \cos 30^{\circ} & \gt 30 \\ n \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} & \gt 30 \\ n\ & \gt \frac{60}{\sqrt{3}} \\ n\ & \gt 20 \sqrt{3} \\ n\ & \gt 20 \cdot 1,732 \\ n\ & \gt 34,64 \end{align}$
$n$ bilangan bulat terkecil adalah $35$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 35$