21. Soal UM STIS 2011
Diketahui $A$ dan $B$ adalah sudut lancip yang memenuhi $\tan\ (A+B)=\dfrac{1}{2}$ dan $\tan\ (A-B)=\dfrac{1}{3}$. Nilai $\tan\ A $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{2}+1 \\ (B)\ & \sqrt{2}-1 \\ (C)\ & -\sqrt{2}-1 \\ (D)\ & \dfrac{1}{12} \\ (E)\ & \dfrac{5}{12}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\tan\ (A+B)=\dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot tan\ B}$ dan $\tan\ (A-B)=\dfrac{\tan\ A-tan\ B}{1+\tan\ A \cdot tan\ B}$.
$\begin{align}
\tan\ (A+B) &= \dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ \dfrac{1}{2} &= \dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ 1-\tan\ A \cdot \tan\ B &= 2\tan\ A+2tan\ B\ \cdots\ pers.(1) \\ \hline
\tan\ (A-B) &= \dfrac{\tan\ A - tan\ B}{1+\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ \dfrac{1}{3} &= \dfrac{\tan\ A - tan\ B}{1+\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ 1+\tan\ A \cdot \tan\ B &= 3\tan\ A-3\tan\ B\ \cdots\ pers.(2) \\ \end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
1-\tan\ A \cdot \tan\ B = 2\tan\ A+2\tan\ B & (\times 3)\\ 1+\tan\ A \cdot \tan\ B = 3\tan\ A-3\tan\ B & (\times 2)\\ \hline
3-3\tan\ A \cdot \tan\ B = 6\tan\ A+6\tan\ B & \\ 2+2\tan\ A \cdot \tan\ B = 6\tan\ A-6\tan\ B & (-)/(+)\\ \hline
1-5\tan\ A \cdot \tan\ B = 12\tan\ B & (-) \\ 12\tan\ B + 5\tan\ A \cdot \tan\ B = 1 & \\ \tan\ B \left( 12 + 5 \tan\ A \right) = 1 & \\ \tan\ B = \dfrac{1}{12 + 5 \tan\ A} & pers.(3)\\ \hline
5- \tan\ A \cdot \tan\ B = 12\tan\ A & (+) \\ 12\tan\ A + \tan\ A \cdot \tan\ B = 5 & pers.(4)
\end{array} $
Dari persamaan $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
$\begin{align}
12\tan\ A + \tan\ A \cdot \tan\ B &= 5 \\ 12\tan\ A + \tan\ A \cdot \dfrac{1}{12 + 5 \tan\ A} &= 5 \\ 12\tan\ A (12 + 5 \tan\ A) + \tan\ A &= 5 (12 + 5 \tan\ A) \\ 144 \tan\ A + 60 \tan^{2} A + \tan\ A &= 60 + 25 \tan\ A \\ 144 \tan\ A + 60 \tan^{2} A + \tan\ A -60 -25 \tan\ A &= 0 \\ 60 \tan^{2} A+120 \tan\ A - 60 &= 0 \\ \tan^{2} A+2 \tan\ A - 1 &= 0 \\ \end{align}$
Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $tan\ A$ adalah:
$\begin{align}
\tan\ A &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut lancip maka nilai $\tan\ A$ adalah positif yaitu $-1 + \sqrt{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2}-1 $
22. Soal UNBK Matematika IPA 2019
Diketahui $\sin\ A=\dfrac{1}{a}$, $A$ adalah sudut tumpul. Nilai $\cos\ A=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+1}} \\ (B)\ & \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+1}} \\ (C)\ & \dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a} \\ (D)\ & -\dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a} \\ (E)\ & -\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Masalah trigonometri di atas dapat kita selesaikan dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku lalu defenisi sinus dan cosinus. Tetapi berikut ini kita coba selesaikan dengan menggunakan identitas trigonometri dasar yaitu:
$\begin{align}
\sin^{2}A+\cos^{2}A &=1 \\ \cos^{2}A &=1-\sin^{2}A \\ &=1-\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \\ &=1- \dfrac{1}{a^{2}} \\ &=\dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{1}{a^{2}} \\ &=\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}} \\ \cos\ A &=\pm \sqrt{\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}}} \\ \cos\ A &=\pm \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut tumpul, maka $A$ berada di kwadran kedua sehingga $\cos\ A$ bernilai negatif, $\cos\ A =- \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$
23. Soal UNBK Matematika IPA 2019
Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$
- Aplitudo adalah $1$,
- Nilai maksimum adalah $1$ saat $x=90^{\circ},270^{\circ},\cdots$
- Nilai minimum adalah $-1$ saat $x=0^{\circ},180^{\circ},\cdots$
- Pembuat fungsi nol atau $y=0$ saat $x=45^{\circ},135^{\circ},225^{\circ},\cdots$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$
24. Soal UNBK Matematika IPA 2019
Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan setiap titik sudutnya diberi tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$. Jika jarak antara tonggak $A$ dan $B$ adalah $300\ m$, sudut $ABC=45^{\circ}$, dan sudut $BCA=60^{\circ}$, jarak antara tonggak $A$ dan $C$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 50\sqrt{6}\ m \\
(B)\ & 100\sqrt{3}\ m \\
(C)\ & 150\sqrt{2}\ m \\
(D)\ & 100\sqrt{6}\ m \\
(E)\ & 300\sqrt{6}\ m
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai ilustrasi jika kita gambarkan tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$ beserta ukurannya, dapat digambarkan seperti berikut:
$\begin{align}
\dfrac{AC}{\sin\ ABC} & = \dfrac{AB}{\sin\ ACB} \\ \dfrac{AC}{\sin\ 45^{\circ}} & = \dfrac{300}{\sin\ 60^{\circ}} \\ AC & = \dfrac{300}{\sin\ 60^{\circ}} \cdot \sin\ 45^{\circ} \\ & = \dfrac{300}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ & = \dfrac{300\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{3}}\\ & = 100 \sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 100 \sqrt{6}$
25. Soal UNBK Matematika IPA 2019
Perhatikan gambar berikut:Tiga orang petugas dinas lingkungan hidup akan mengukur panjang Danau Tanralili di Kabupaten Goa. Orang pertama berada di titik $A$, orang kedua berada di titik $B$, dan orang ketiga berada di titik $C$. Ketiga petugas tersebut mengukur panjang Danau Tanralili dengan bantuan drone. Dari titik $A$ orang pertama menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $045^{\circ}$ ke titik $B$ dan tercatat drone terbang selama $15$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Kemudian dari titik $B$ orang kedua menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $105^{\circ}$ ke titik $C$ dan tercatat drone terbang selama $20$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Jika $p$ adalah jarak titik $A$ ke titik $C$ atau panjang Danau Tanralili dalam meter, nilai $p^{2}=\cdots$Sumber :http://syachrularsyad.blogspot.com/2016/07/menyapa-pagi-di-danau-tanralili.html
$\begin{align} (A)\ & 650\ m \\ (B)\ & 660\ m \\ (C)\ & 670\ m \\ (D)\ & 680\ m \\ (E)\ & 690\ m \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Drone begerak dengan arah $045^{\circ}$ artinya diukur $45^{\circ}$ dari Utara dan searah jarum jam (Jurusan Tiga Angka). Jika apa yang disampaikan di atas kita gambarkan kembali, seperti berikut ini:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 670\ m $
26. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\sin\left ( x+y \right )=1+\dfrac{1}{5}\cos\ y\\
\sin\left ( x-y \right )=-1+\cos\ y\\
\end{matrix}\right.$
dengan $0 \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}$. maka $\cos\ 2x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{7}{25} \\ (B)\ & \dfrac{7}{24} \\ (C)\ & -\dfrac{7}{25} \\ (D)\ & -\dfrac{7}{24} \\ (E)\ & -\dfrac{17}{25}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin\left ( A+B \right )=\sin\ A\ \cos\ B + \sin\ B\ \cos\ A$
- $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
- $\cos\ 2A = 1 - 2\ \sin^{2}A$
\sin\left ( x+y \right ) &=1+\dfrac{1}{5}\cos\ y\\
\sin\left ( x-y \right ) &=-1+\cos\ y\\
\hline
\sin\ x\ \cos\ y + \sin\ y\ \cos\ x &=1+\dfrac{1}{5}\cos\ y\\
\sin\ x\ \cos\ y - \sin\ y\ \cos\ x &=-1+\cos\ y\ [+] \\
\hline
2\ \sin\ x\ \cos\ y &= \dfrac{6}{5}\ \cos\ y \\ 2\ \sin\ x &= \dfrac{6}{5} \\ \sin\ x &= \dfrac{3}{5} \\ \hline
\cos\ 2x &= 1 - 2\ \sin^{2}x \\ &= 1 - 2\ \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\ &= 1 - 2\ \cdot \dfrac{9}{25} \\ &= 1 - \dfrac{18}{25} \\ &= \dfrac{7}{25}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{7}{25}$
27. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\cos\ 2x+\cos\ 2y= \dfrac{2}{5} \\
\sin\ x=2\ \sin\ y\\
\end{matrix}\right.$
Untuk $x \gt 0$ dan $y \gt \pi$. Nilai $3\ \sin\ x-5\ \sin\ y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{5} \\ (B)\ & -\dfrac{2}{5} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & \dfrac{3}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $cos \left ( 2A \right )=\cos^{2} A-\sin^{2} A$
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
\cos\ 2x+\cos\ 2y &= \dfrac{2}{5} \\
\cos^{2} x-\sin^{2} x+\cos^{2} y-\sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
1-\sin^{2} x-\sin^{2} x+1-\sin^{2} y-\sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
2-2\sin^{2} x-2\sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
-2\left( 2\ \sin\ y \right)^{2}-2\sin^{2} y &= \dfrac{2}{5}-2 \\
-8\ \sin^{2} y -2\sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
-10\ \sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
\sin^{2} y &= \dfrac{4}{25} \\
\sin\ y &= \pm \sqrt{\dfrac{4}{25}} \\
\sin\ y &= \pm \dfrac{2}{5} \\
\hline
\text{karena}\ y \gt \pi\ \text{maka}\ \sin\ y &= -\dfrac{2}{5} \\
\hline
3\ \sin\ x-5\ \sin\ y &= 3 \cdot 2\ \sin\ y - 5 \cdot -\dfrac{2}{5} \\ &= 3 \cdot 2\ \cdot -\dfrac{2}{5} + 2 \\ &= \dfrac{-12}{5}+2 \\ &= -\dfrac{2}{5}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{2}{5}$
28. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\cos\left ( a-b \right )=\dfrac{4}{5}\sin\left ( a+b \right )\\
\sin\ 2a+\sin\ 2b=\dfrac{9}{10} \\
\end{matrix}\right.$
Nilai dari $\sin\left ( a+b \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{7} \\ (B)\ & \dfrac{7}{10} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5} \\ (D)\ & \dfrac{3}{4} \\ (E)\ & \dfrac{3}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin\ A+ \sin\ B=2\ \sin\ \left (\dfrac{A+B}{2}\right )\ \cos\ \left (\dfrac{A-B}{2}\right ) $
- $\cos\left ( A-B \right )=\cos\ A\ \cos\ B + \sin\ A\ \sin\ B$
\sin\ 2a+\sin\ 2b &= \dfrac{9}{10} \\
2\ \sin\ \left (\dfrac{2a+2b}{2}\right )\ \cos\ \left (\dfrac{2a-2b}{2}\right ) &= \dfrac{9}{10} \\
2\ \sin\ \left( a+b \right)\ \cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{10} \\
\sin\ \left( a+b \right)\ \cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{20} \\
\sin\ \left( a+b \right)\ \cdot \dfrac{4}{5}\sin\left ( a+b \right ) &= \dfrac{9}{20} \\
\sin^{2} \left( a+b \right) &= \dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{5}{4}\\
sin \left( a+b \right) &= \pm \sqrt{ \dfrac{9}{16}} \\
&= \pm \dfrac{3}{4}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{3}{4}$
29. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =\cos\ A - 2 \sin\ B\\
y =\sin\ A + 2 \cos\ B
\end{matrix}\right.$
Nilai minimum dari $x^{2}+y^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
- $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
x &=\cos\ A - 2 \sin\ B \\
y &=\sin\ A + 2 \cos\ B \\ \hline
x^{2} &=\cos^{2}\ A + 4 \sin^{2} B-4\ \cos\ A\ \sin\ B \\
y^{2} &=\sin^{2}\ A + 4 \cos^{2} B+4\ \sin\ A\ \cos\ B \, \, [+]\\ \hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 4 -4\ \cos\ A\ \sin\ B+4\ \sin\ A\ \cos\ B \\
&=5 +4 \left( \sin\ A\ \cos\ B - \cos\ A\ \sin\ B \right) \\
&=5 +4 \sin\left ( A-B \right )
\end{align} $
Nilai minimum $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $\sin\left ( A-B \right )=-1$ minimum, sehingga nilai minimum $x^{2}+y^{2}=5 +4 \left ( -1 \right )=5-4=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
30. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =\sin\ \alpha + \sqrt{3}\ \sin\ \beta \\
y =\cos\ \alpha + \sqrt{3}\ \cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
Nilai maximum dari $x^{2}+y^{2}$ adalah $a+b\sqrt{3}$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
- $\cos\left ( A-B \right )=\cos\ A\ \cos\ B + \sin\ A\ \sin\ B$
x &= \sin\ \alpha + \sqrt{3}\ \sin\ \beta \\
y &= \cos\ \alpha + \sqrt{3}\ \cos\ \beta \\ \hline
x^{2} &= \sin^{2} \alpha +3\ \sin^{2} \beta+2\sqrt{3}\ \sin\ \alpha\ \sin\ \beta \\
y^{2} &= \cos^{2} \alpha +3\ \cos^{2} \beta+2\sqrt{3}\ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \, \, [+]\\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 3 +2\sqrt{3}\ \sin\ \alpha\ \sin\ \beta+2\sqrt{3}\ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \\
&=4 +2\sqrt{3} \left( \sin\ \alpha\ \sin\ \beta+\cos\ \alpha\ \cos\ \beta \right) \\
&=4 +2\sqrt{3}\ \cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $\cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $x^{2}+y^{2} =4 +2\sqrt{3}(1)$.
Nilai $a+b\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}$, maka $a+b=4+2=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$
31. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
a =\sin\ x + \cos\ y\\
b =\cos\ x - \sin\ y
\end{matrix}\right.$
Nilai miaximum dari $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 16 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 28 \\ (E)\ & 32
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
- $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
a &=\sin\ x + \cos\ y\\
b &=\cos\ x - \sin\ y \\ \hline
a^{2} &=\sin^{2}\ x + \cos^{2} y+2\ \sin\ x\ \cos\ y \\
b^{2} &=\cos^{2}\ x + \sin^{2} y-2\ \cos\ x\ \sin\ y \, \, [+]\\ \hline
a^{2}+b^{2} &=1 + 1+2\ \sin\ x\ \cos\ y -2\ \cos\ x\ \sin\ y \\
&=2+2\ \left( \sin\ x\ \cos\ y - \cos\ x\ \sin\ y \right) \\
&=2 +2\ \sin\left ( x-y \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $a^{2}+b^{2}$ terjadi saat $\sin\left ( x-y \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $a^{2}+b^{2}=2 +2 \left ( 1 \right )=4$
Nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ terjadi saat $a^{2}+b^{2}$ maximum, sehingga nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah:
$\begin{align}
4a^{2}+4b^{2}+4 &= 4 \left( a^{2}+ b^{2} \right)+4 \\
&= 4 \left( 4 \right)+4 \\
&= 20
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$
32. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Jika $(x,y)$ dengan $0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}$, merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\cos\ 2x+\cos\ 2y= -\dfrac{2}{5} \\
\cos\ y=2\ \cos\ x\\
\end{matrix}\right.$
maka $\cos\ x+\cos\ y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{6}{5} \\ (B)\ & -\dfrac{3}{5} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{3}{5} \\ (E)\ & \dfrac{6}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $cos \left ( 2A \right )=\cos^{2} A-\sin^{2} A$
- $cos \left ( 2A \right )=2\cos^{2} A-1$
\cos\ 2x+\cos\ 2y &= -\dfrac{2}{5} \\
2\cos^{2} x-1+2\cos^{2} y-1 &= -\dfrac{2}{5} \\
2\cos^{2} x +2\cos^{2} y &= -\dfrac{2}{5}+2 \\
2\cos^{2} x +2 \left(2 \cos\ x \right)^{2} &= \dfrac{8}{5} \\
2\cos^{2} x +8 \cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
10 \cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
\cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{1}{10} \\
\cos\ x &= \pm \sqrt{ \dfrac{4}{25}} \\
\cos\ x &= \pm \dfrac{2}{5} \\ \hline
\text{karena}\ 0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}\ & \text{maka}\ \cos\ x = \dfrac{2}{5} \\
\hline
\cos\ x + \cos\ y &= \dfrac{2}{5} + 2 \cdot \dfrac{2}{5} \\ &= \dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{6}{5}$
33. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =\sin\ \alpha - \sin\ \beta \\
y =\cos\ \alpha + \cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
maka nilai terbesar dari $x^{2}+y^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
- $\cos\left ( A-B \right )=\cos\ A\ \cos\ B + \sin\ A\ \sin\ B$
x &= \sin\ \alpha - \sin\ \beta \\
y &= \cos\ \alpha + \cos\ \beta \\ \hline
x^{2} &= \sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta-2\ \sin\ \alpha\ \sin\ \beta \\
y^{2} &= \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta-2\ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \, \, [+] \\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 1 +2\ \sin\ \alpha\ \sin\ \beta+2\ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \\
&=2 +2\ \left( \sin\ \alpha\ \sin\ \beta+ \cos\ \alpha\ \cos\ \beta \right) \\
&=2 +2\ \cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai terbesar $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $\cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ terbesar, sehingga nilai terbesar $x^{2}+y^{2} =2 +2(1)=4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
34. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui $0 \lt x,y \lt \pi $, $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $, memenuhi:
$\left\{\begin{matrix}
2\sin\ x+\cos\ y =2\\
2\cos\ x-\sin\ y =\sqrt{3}\\
\end{matrix}\right.$
Nilai $cos \left( x-y \right)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
- $\sin\left ( A-B \right )=\sin\ A\ \cos\ B - \sin\ B\ \cos\ A$
2\sin\ x+\cos\ y &=2\\
2\cos\ x-\sin\ y &=\sqrt{3}\\
\hline
4\sin^{2}\ x +\cos^{2} y+4\ \sin\ x\ \cos\ y &=4\\
4\cos^{2}\ x +\sin^{2} y-4\ \cos\ x\ \sin\ y &=3\, \, [+]\\ \hline
4+1+4\ \sin\ x\ \cos\ y\ - 4\ \cos\ x\ \sin\ y &= 7 \\
4\left( \sin\ x\ \cos\ y\ - \cos\ x\ \sin\ y \right) &= 7-5 \\
4\ \sin\ \left( x-y \right) &= 2 \\
\sin\ \left( x-y \right) &= \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \\
\end{align} $
$\begin{align}
\sin^{2}A +\cos^{2}A&=1\\
\sin^{2}\left( x-y \right) +\cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} +\cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
\cos^{2}\left( x-y \right)&=1- \dfrac{1}{4} \\
cos \left( x-y \right) &=\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}} \\
&=\pm \dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align} $
Karena $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $ maka $cos \left( x-y \right) = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
35. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019
Nilai dari $\cos\ 300^{\circ}+\sin\ 150^{\circ}-tan\ 135^{\circ}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{3}-1 \\ (B)\ & \sqrt{3}+1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Materi pokok dari soal ini adalah Trigonometri, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Trigonometri.
Dari apa yang disampaika pada soal, kita kerjakan satu persatu menjadi:
- $\cos\ 300^{\circ}=\cos\ \left( 360^{\circ}-60^{\circ} \right)=\cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
$\cos\ 300^{\circ}=\cos\ \left( 270^{\circ}+30^{\circ} \right)=\sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ - $\sin\ 150^{\circ}=\sin\ \left( 180^{\circ}-30^{\circ} \right)=\sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
$\sin\ 150^{\circ}=\sin\ \left( 90^{\circ}+60^{\circ} \right)=\cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ - $\tan\ 135^{\circ}=\tan\ \left( 180^{\circ}-45^{\circ} \right)=-\tan\ 45^{\circ}=-1$
$\tan\ 135^{\circ}=\tan\ \left( 90^{\circ}+45^{\circ} \right)=-\cot\ 45^{\circ}=-1$
$\begin{align}
& \cos\ 300^{\circ}+\sin\ 150^{\circ}-\tan\ 135^{\circ} \\ & = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-(-1)\\ & = 1+1 =2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
36. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019
Periode grafik fungsi $f(x)=2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ \pi \right)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{8}{3} \pi \\ (B)\ & \dfrac{3}{2} \pi \\ (C)\ & \dfrac{4}{3} \pi \\ (D)\ & \dfrac{3}{4} \pi \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Materi pokok dari soal ini adalah Trigonometri, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Trigonometri.
Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$
- $A$ adalah Amplitudo
- $T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
- $(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
- $\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
- Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
- Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$
$\begin{align}
f(x) = & 2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ \pi \right) \\ = & 2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ 180 \right) \\ = & 2 \ cos \dfrac{3}{4} \left( x+240 \right) \\ \hline
k = & \dfrac{3}{4} \\ T = & \dfrac{2 \pi}{k} \\ = & \dfrac{2 \pi}{\frac{3}{4}} \\ = & 2 \pi \cdot \frac{4}{3} \\ = & \frac{8}{3} \pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{8}{3} \pi$
37. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019
Andi berada di titik $A$ dan berjarak $6\sqrt{3}\ m$ dari titik $B$ dengan sudut elevasi di titik $A$ terhadap puncak tiang bendera adalah $60^{\circ}$. Andi ingin memasang tali dengan cara merobohkan tiang bendera. Dia harus bergerak menuju titik C sehingga jarak antara ujung tiang bendera ke titik $C$ adalah $2\ m$ seperti gambar berikut.Jika $\alpha$ adalah sudut yang dibentuk $BP'$ dan $BC$, nilai dari $\dfrac{1}{\sin\ \alpha}$ adalah...$\begin{align}
(A)\ & 7 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 11 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika keterangan pada soal kita tambahkan pada gambar, menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
\text{Dari}\ & \bigtriangleup ABP & \\ \tan\ 60^{\circ} & = \dfrac{BP}{AB} \\ \sqrt{3} & = \dfrac{BP}{6\sqrt{3}} \\ \sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}& = BP \\ 18 & = BP \longrightarrow BP'= 18 \\ \hline
\text{Dari}\ & \bigtriangleup BCP' & \\ \sin\ \alpha & = \dfrac{CP'}{BP'} \\
& = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9} \\
\hline
\dfrac{1}{\sin\ \alpha}=\dfrac{1}{\frac{1}{9}} \\
\dfrac{1}{\sin\ \alpha}= 9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9$
38. Soal SPMB 2005 Kode 370
Jika $f(x)=2 -\sin^{2}x$, maka fungsi $f$ memenuhi...$\begin{align} (A)\ & -2 \leq f(x) \leq -1 \\ (B)\ & -2 \leq f(x) \leq 1 \\ (C)\ & -1 \leq f(x) \leq 0 \\ (D)\ & 0 \leq f(x) \leq 1 \\ (E)\ & 1 \leq f(x) \leq 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Batasan nilai $\sin\ x$ adalah $-1 \leq \sin x \leq 1$ sedangkan batasan $\sin^{2} x$ adalah $0 \leq \sin^{2}x \leq 1$ sehingga kita peroleh: \begin{aligned} 0 \leq &\sin^{2}x \leq 1 \\ 0 \geq -&\sin^{2}x \geq -1 \\ -1 \leq -&\sin^{2}x \leq 0 \\ -1+2 \leq -&\sin^{2}x+2 \leq 0+2 \\ 1 \leq 2-&\sin^{2}x \leq 2 \\ 1 \leq &f(x) \leq 2 \\ \end{aligned}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 1 \leq f(x) \leq 2$
39. Soal SBMPTN 2014
Nilai dari $\cos\ \dfrac{2\pi}{7} + \cos\ \dfrac{4\pi}{7} + \cos\ \dfrac{6\pi}{7}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & \sqrt{2-\sqrt{2}} \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \sqrt{2} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Ide dasar jika melihat bentuk trigonometri, setidaknya kita akan mulai dengan mencoba menjumlahkan $\cos\ \dfrac{2\pi}{7} + \cos\ \dfrac{4\pi}{7}$ dan seterusnya. Tetapi apa yang kita lakukan tersebut belum mendapatkan hasil seperti yang di harapkan pada pilihan, sehingga kita butuh sebuah ide untuk dapat menyederhanakan bentuk soal.
Dengan bantuan identitas trigometri dan sedikit manipulasi aljabar, maka penjabaran soal yang mungkin kita lakukan seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \cos\ \frac{2\pi}{7} + \cos\ \frac{4\pi}{7} + \cos\ \frac{6\pi}{7} \\ &= \cos\ \frac{2\pi}{7} + \cos\ \frac{4\pi}{7} + \cos\ \frac{6\pi}{7} \cdot \frac{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}}{ 2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{2\ \cos\ \frac{2\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} + 2\ \cos\ \frac{4\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} +2\ \cos\ \frac{6\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} }{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{\sin\ \frac{3\pi}{7} - \sin\ \frac{\pi}{7} + \sin\ \frac{5\pi}{7} - \sin\ \frac{3\pi}{7} +\sin\ \frac{7\pi}{7} - \sin\ \frac{5\pi}{7} }{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7} +\sin\ \frac{7\pi}{7}}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7} + 0}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7}}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} = \dfrac{ - 1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{1}{2}$
40. Soal SPMB 2003
Nilai dari $\dfrac{2\ \tan\ \theta}{1+\tan^{2}\theta}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta \\ (B)\ & \sin\ \theta\ \cos\ \theta \\ (C)\ & 1- 2\ \sin\ \theta \\ (D)\ & 2\ \sin\ \theta \\ (E)\ & 2\ \cos\ \theta \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{2\ \tan\ \theta}{1+\tan^{2}\theta} & = \dfrac{2\ \tan\ \theta}{sec^{2}\theta} \\
& = 2\ \tan\ \theta \cdot \dfrac{1}{sec^{2}\theta} \\
& = 2\ \dfrac{\sin\ \theta}{\cos\ \theta} \cdot \cos^{2}\theta \\
& = 2\ \sin\ \theta \cdot \cos\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta$