61. Soal SPMB 2005 Kode 772
Pada gambar di bawah ini, jika $\angle AOB = \theta$, $AB=p$ dan $OA=q$ maka $\cos \theta=\cdots$$\begin{align} (A)\ & \dfrac{p-q}{p} \\ (B)\ & \dfrac{p-q^{2}}{p} \\ (C)\ & \dfrac{p^{2}-q}{q} \\ (D)\ & \dfrac{2q^{2}-p^{2}}{2q^{2}} \\ (E)\ & \dfrac{p^{2}-q}{2q^{2}} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar dapat kita peroleh bahwa $OA=OB=q$ karena keduanya merupakan jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} p^{2} &= q^{2}+q^{2}-2q \cdot q \cdot \cos \theta \\ p^{2} &= 2q^{2}-2q^{2} \cos \theta \\ p^{2} &= 2q^{2} \left( 1 - \cos \theta \right) \\ \dfrac{p^{2}}{2q^{2}} &= 1 - \cos \theta \\ \cos \theta &= 1 - \dfrac{p^{2}}{2q^{2}} \\ \cos \theta &= \dfrac{2q^{2}-p^{2}}{2q^{2}} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2q^{2}-p^{2}}{2q^{2}}$
62. Soal SPMB 2005 Kode 370
Jika $2\ \cos^{2} x+ \cos x\ \sin x - \sin^{2}x = 0$, maka $\tan x =\cdots$$\begin{align} (A)\ & 1\ \text{dan}\ -2 \\ (B)\ & 1\ \text{dan}\ 2 \\ (C)\ & -1\ \text{dan}\ -2 \\ (D)\ & -1\ \text{dan}\ 2 \\ (E)\ & -2\ \text{dan}\ -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar dapat kita peroleh:
$\begin{align} 2\ \cos^{2} x+ \cos x\ \sin x - \sin^{2}x &= 0 \\ \left( \cos x + \sin x \right)\left(2 \cos x - \sin x \right) &= 0 \\ \hline \cos x + \sin x &= 0 \\ \sin x &= -\cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -1 \\ \tan x &= -1 \\ \hline 2 \cos x - \sin x &= 0 \\ -\sin x &= -2 \cos x \\ \dfrac{-\sin x}{- \cos x} &= 2 \\ \tan x &= 2 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{dan}\ 2$
63. Soal SPMB 2006 Kode 111
Jika $\cos x\ \tan x + \frac{1}{2}\sqrt{3}=0$ untuk $1\frac{1}{2} \pi \lt x \lt 2 \pi$, maka $\cos x =\cdots$$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -\frac{2}{3}\sqrt{3} \\ (C)\ & -\frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{2}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \frac{1}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos x\ \tan x + \frac{1}{2}\sqrt{3} & =0 \\ \cos x\ \tan x & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos x\ \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin x & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \hline 1\frac{1}{2} \pi \lt x \lt 2 \pi & \\ \hline x & = 300^{\circ} \\ \cos 300^{\circ} & = \frac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{1}{2}$
64. Soal SPMB 2006 Kode 111
Jika $\tan x\ - 3 \sin^{2} x =0$ maka $\sin x\ \cos x =\cdots$$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{3} \\ (B)\ & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ (C)\ & \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ (D)\ & \frac{2}{3} \\ (E)\ & \frac{1}{3}\sqrt{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \tan x\ - 3 \sin^{2} x & =0 \\ \tan x\ & = 3 \sin^{2} x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x}\ & = 3 \sin^{2} x \\ \dfrac{1}{\cos x} & = 3 \sin x \\ \dfrac{1}{3} & = \sin x\ \cos x \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{1}{3}$
65. Soal SPMB 2006 Kode 411
Jika $\tan x=- \frac{2}{3}$ maka $\dfrac{5\ \sin x + 6\ \cos x}{2\ \cos x - 3\ \sin x} =\cdots$$\begin{align} (A)\ & -1\frac{1}{6} \\ (B)\ & -\frac{1}{3} \\ (C)\ & \frac{1}{3} \\ (D)\ & \frac{2}{3} \\ (E)\ & 1\frac{1}{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \dfrac{5\ \sin x + 6\ \cos x}{2\ \cos x - 3\ \sin x} \\ & = \dfrac{5\ \sin x + 6\ \cos x}{2\ \cos x - 3\ \sin x} \cdot \dfrac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\frac{5\ \sin x}{\cos x} + \frac{6\ \cos x}{\cos x} }{\frac{2\ \cos x}{\cos x} - \frac{3\ \sin x}{\cos x} } \\ & = \dfrac{5\ \tan x + 6 }{ 2- 3\ \tan x } \\ & = \dfrac{5\ \cdot \left( - \frac{2}{3} \right) + 6 }{ 2- 3\ \cdot \left( -\frac{2}{3} \right)} \\ & = \dfrac{ - \frac{10}{3} + 6 }{ 2 + 2} \\ & = \dfrac{ \frac{8}{3} }{4}=\dfrac{ 2 }{ 3} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{1}{3}$
66. Soal SPMB 2006 Kode 411
Jika sudut lancip $\alpha$ memenuhi $\sin \alpha =\frac{1}{3}\sqrt{3}$, maka $\tan \left(\frac{1}{2}\pi-\alpha \right) +3 \cos \alpha =\cdots$$\begin{align} (A)\ & 3\sqrt{2}-\sqrt{3} \\ (B)\ & 3\sqrt{2}+\sqrt{3} \\ (C)\ & \sqrt{6}+\sqrt{2} \\ (D)\ & \sqrt{6}-\sqrt{2} \\ (E)\ & \sqrt{3}+\sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita misalkan sudut $\alpha$ dan $\sin \alpha =\frac{1}{3}\sqrt{3}$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini:
Dari segitiga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \tan \left(\frac{1}{2}\pi-\alpha \right) +3 \cos \alpha \\ &= \tan \left( 90^{\circ}-\alpha \right) +3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \\ &= \cot \alpha + \sqrt{6} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} + \sqrt{6} \\ &= \sqrt{2} + \sqrt{6} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{6}+\sqrt{2}$
67. Soal SPMB 2006 Kode 310
Jika $x+y=\pi$ maka $\sin \left( x-\frac{1}{2}\pi \right) =\cdots$$\begin{align} (A)\ & -\cos y \\ (B)\ & \sin y \\ (C)\ & \cos y \\ (D)\ & \cos \left(-y \right) \\ (E)\ & \sin y = \cos y \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} x+y & =\pi \\ x & = y-\pi \\ \hline \sin \left( x-\frac{1}{2}\alpha \right) & = \sin -\left( \frac{1}{2}\pi-x \right) \\ & = \sin -\left( \frac{1}{2}\pi- \left( y-\pi \right) \right) \\ & = -\sin \left( \frac{1}{2}\pi- y + \pi \right) \\ & = -\sin \left( \frac{3}{2}\pi- y \right) \\ & = -\sin \left( 270^{\circ}- y \right) \\ & = - \left( -\cos\ y \right) = \cos\ y \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \cos y$
68. Soal SPMB 2006 Kode 310
Dalam bentuk lain, $3\ \sin^{2}x- 2\ \cos^{2}x= \cdots$$\begin{align} (A)\ & 5\ \cos^{2}x-2 \\ (B)\ & 5\ \sin^{2}x-2 \\ (C)\ & 4\ \sin^{2}x-2 \\ (D)\ & 4 \cos^{2} - 2\\ (E)\ & 5 \sin^{2} + 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} 3\ \sin^{2}x- 2\ \cos^{2}x & = 3\ \left( 1 - \cos^{2}x \right)- 2\ \cos^{2}x \\ & = 3\ - 3\ \cos^{2}x - 2\ \cos^{2}x \\ & = 3\ - 5\ \cos^{2}x \\ & = 3\ - 5\ \left( 1 - \sin^{2}x \right) \\ & = 3\ - 5\ + 5\ \sin^{2}x \\ & = 2\ + 5\ \sin^{2}x \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2\ + 5\ \sin^{2}x$
69. Soal SPMB 2006 Kode 610
Jika $\alpha,\ \beta,$ dan $\gamma$ sudut-sudut dalam segitiga $ABC$, maka $\sin \frac{1}{2}\left(\alpha + \beta \right)= \cdots$$\begin{align} (A)\ & \cos \frac{1}{2} \gamma \\ (B)\ & \frac{1}{2} \cos \gamma \\ (C)\ & \sin \frac{1}{2} \gamma \\ (D)\ & -\sin \frac{1}{2} \gamma +1 \\ (E)\ & \sin \frac{1}{2} \gamma -1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\alpha,\ \beta,$ dan $\gamma$ adalah sudut-sudut dalam segitiga $ABC$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \alpha + \beta + \gamma & = 180^{\circ} \\ \alpha + \beta & = 180^{\circ}- \gamma \\ \frac{1}{2} \left(\alpha + \beta \right) & = \frac{1}{2} \left( 180^{\circ}- \gamma \right) \\ \sin \frac{1}{2} \left(\alpha + \beta \right) & = \sin \left( \frac{180^{\circ}}{2}- \frac{1}{2} \gamma \right) \\ & = \sin \left( 90^{\circ} - \frac{1}{2} \gamma \right) \\ & = \cos \frac{1}{2} \gamma \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \cos \frac{1}{2} \gamma$
Jika $p=\tan x - \frac{1}{\cos x}$ dan $q=\sin x$, maka $\dfrac{p}{q}=\cdots$$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\cos x}{\sin^{2}x-\sin x} \\ (B)\ & \dfrac{\cos x}{\sin^{2}x+\sin x} \\ (C)\ & \dfrac{-\cos x}{\sin^{2}x-\cos x} \\ (D)\ & \dfrac{-\cos x}{\sin^{2}x+\cos x} \\ (E)\ & \dfrac{-\cos x}{\sin^{2}x+\sin x} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{p}{q} & = \dfrac{\tan x - \frac{1}{\cos x}}{\sin x} \\ & = \dfrac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x}}{\sin x} \\ & = \dfrac{\frac{\sin x-1}{\cos x}}{\sin x} \\ & = \dfrac{ \sin x-1 }{\sin x\ \cos x} \cdot \dfrac{ \sin x+1 }{\sin x+1}\\ & = \dfrac{ \sin^{2} x-1 }{\sin x\ \cos x \cdot \left( \sin x+1\right)} \\ & = \dfrac{ -\cos^{2} x }{\sin x\ \cos x \cdot \left( \sin x+1\right)} \\ & = \dfrac{ -\cos x }{\sin^{2} x + \sin x } \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{-\cos x}{\sin^{2}x+\sin x}$
71. Soal SPMB 2006 Kode 510
Dalam bentuk sinus dan cosinus $\dfrac{ 2\ \tan x}{1+ \tan^{2} x} =\cdots$$\begin{align} (A)\ & 2 \sin x\ \cos x \\ (B)\ & 2 \sin^{2} x \\ (C)\ & 2 \cos^{2} x \\ (D)\ & \sin^{2}x \\ (E)\ & \sin^{2}x- \cos^{2}x \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{2\ \tan x}{1+ \tan^{2} x} & = \dfrac{2\ \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x}+ \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x}} \\ & = \dfrac{2\ \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin^{2} x+ \cos^{2} x}{\cos^{2} x}} \\ & = \dfrac{2\ \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^{2} x}} \\ & = 2\ \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos^{2} x}{1} \\ & = 2 \sin x\ \cos x \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 2 \sin x\ \cos x$
72. Soal SPMB 2004 Kode 640
Jika $\bigtriangleup PQR$ sama kaki dan siku-siku di $Q$, $S$ titik tengah $QR$, dan $\angle SPR =\alpha$ maka $\cos \alpha=\cdots$$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{7} \sqrt{10} \\ (B)\ & \frac{1}{5} \sqrt{10} \\ (C)\ & \frac{3}{10} \sqrt{10} \\ (D)\ & \frac{7}{10} \sqrt{10} \\ (E)\ & \frac{5}{6} \sqrt{10} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan sudut $\angle$ dan segitiga $PQR$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} RS^{2} &= PS^{2}+PR^{2}-2PS \cdot PR \cdot \cos \alpha \\ \left( \frac{1}{2}a \right)^{2} &= \left( \frac{1}{2}a\sqrt{5} \right)^{2} +\left( a\sqrt{2} \right)^{2} -2\left( a\sqrt{2} \right)\left( \frac{1}{2}a\sqrt{5} \right) \cdot \cos \alpha \\ \frac{1}{4}a^{2} &= \frac{5}{4}a^{2} + 2a^{2} - a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\ \frac{1}{4}a^{2} - \frac{5}{4}a^{2} - 2a^{2} &= - a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\ -3a^{2} &= - a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\ \frac{-3a^{2}}{- a^{2} \sqrt{10}} &= \cos \alpha \\ \frac{ 3}{ \sqrt{10}} &= \cos \alpha \\ \frac{ 3}{ 10} \sqrt{10} &= \cos \alpha \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{10} \sqrt{10}$
73. Soal SPMB 2004 Kode 710
Diketahui $\bigtriangleup PQR$ dengan $PR=QR=5$ dan $PQ=6$. Nilai $\sin R =\cdots$$\begin{align} (A)\ & \frac{13}{25} \\ (B)\ & \frac{14}{25} \\ (C)\ & \frac{16}{25} \\ (D)\ & \frac{21}{25} \\ (E)\ & \frac{24}{25} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan sudut $\bigtriangleup PQR$ dengan $PR=QR=5$ dan $PQ=6$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} r^{2} &= p^{2}+q^{2}-2pq \cdot \cos R \\ 6^{2} &= 5^{2}+5^{2}-2(5)(5) \cdot \cos R \\ 36 &= 25+25-2(5)(5) \cdot \cos R \\ 36 &= 50-50 \cdot \cos R \\ -14 &= -50 \cdot \cos R \\ \frac{-14}{-50} &= \cos R \\ \frac{7}{25} &= \cos R \\ \hline sin^{2}R &= 1-\cos^{2} R \\ sin^{2}R &= 1-\frac{49}{625} \\ sin R &= \pm \sqrt{ \frac{625-49}{625} } \\ &= \pm \sqrt{ \frac{576}{625} }=\pm \frac{24}{25} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{24}{25}$
74. Soal SPMB 2006 Kode 510
Jika $\alpha = \frac{4}{3} \pi$ maka $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan \alpha\ \sin \alpha + \cos \alpha=\cdots$$\begin{align} (A)\ & 1-\sqrt{3} \\ (B)\ & 1-\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ (C)\ & -1+\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ (D)\ & -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ (E)\ & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk $\alpha = \frac{4}{3} \pi=240^{\circ}$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan \alpha\ \sin \alpha + \cos \alpha \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan 240^{\circ}\ \sin 240^{\circ} + \cos 240^{\circ} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan \left(180^{\circ}+60^{\circ} \right)\ \sin \left(180^{\circ}+60^{\circ} \right) + \cos \left(180^{\circ}+60^{\circ} \right) \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan 60^{\circ}\ \left(-\sin 60^{\circ} \right) - \cos 60^{\circ} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} \ \left(- \frac{1}{2}\sqrt{3} \right) - \frac{1}{2} \\ & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}$
75. Soal SPMB 2007 Kode 341
Jika sudut $\alpha$ memenuhi $\cos^{2} \alpha + 2\ \sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin^{2} \left(\pi+\alpha \right)+1\frac{1}{2}$, maka $\sin \alpha = \cdots$$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ (B)\ & \frac{1}{2} \\ (C)\ & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos^{2} \alpha + 2\ \sin \left(\pi -\alpha \right) & = \sin^{2} \left(\pi+\alpha \right)+1\frac{1}{2} \\ \cos^{2} \alpha + 2\ \sin \alpha & = \left( -\sin \alpha \right)^{2}+1\frac{1}{2} \\ 1-\sin^{2} \alpha + 2\ \sin \alpha & = \sin^{2} \alpha +1\frac{1}{2} \\ 2\sin^{2} \alpha - 2\ \sin \alpha + \frac{1}{2} & = 0 \\ 4\sin^{2} \alpha - 4\ \sin \alpha + 1 & = 0 \\ \left( 2\sin \alpha - 1 \right)^{2} & = 0 \\ 2\sin \alpha - 1 & = 0 \\ \sin \alpha & = \frac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{1}{2}$
76. Soal SPMB 2007 Kode 341
Dalam $\bigtriangleup ABC$, jika $AC=8$, $BC=4\sqrt{2}$, dan $\angle ABC=45^{\circ}$ maka $\tan\ BAC =\cdots$$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{3}\sqrt{2} \\ (B)\ & \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ (C)\ & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ (D)\ & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ (E)\ & \sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan $\bigtriangleup ABC$, jika $AC=8$, $BC=4\sqrt{2}$, dan $\angle ABC=45^{\circ}$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan sinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{AC}{\sin B} &= \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{8}{\sin 45^{\circ}} &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin A} \\ \dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin A} \\ \dfrac{4}{\sqrt{2}} &= \dfrac{ \sqrt{2}}{\sin A} \\ \sin A &= \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \\ \angle A &= 30^{\circ} \\ \hline \tan\ BAC &= \tan 30^{\circ} \\ &= \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$
77. Soal SPMB 2005 Regional II
Nilai $x$ yang memenuhi $2 \cos^{2} x + \cos x - 1=0$ dimana $0 \leq x \leq \pi$ adalah...$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3}\pi\ \text{dan}\ \pi \\ (B)\ & \dfrac{1}{3}\pi\ \text{dan}\ \dfrac{2}{3}\pi \\ (C)\ & \dfrac{1}{3}\pi\ \text{dan}\ \dfrac{3}{4}\pi \\ (D)\ & \dfrac{1}{4}\pi\ \text{dan}\ \dfrac{3}{4}\pi \\ (E)\ & \dfrac{1}{4}\pi\ \text{dan}\ \dfrac{2}{3}\pi \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $2 \cos^{2} x + \cos x - 1=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} 2 \cos^{2} x + \cos x - 1 &= 0 \\ \left( 2\cos x-1 \right)\left( \cos x+1\right) &= 0 \\ \hline 2\cos x-1 &= 0 \\ 2\cos x &= 1 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= 60^{\circ},300^{\circ},\cdots \\ \hline & \text{atau} \\ \hline \cos x+1 &= 0 \\ \cos x &= -1 \\ x &= 180^{\circ}, 540^{\circ},\cdots \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0 \leq x \leq \pi$ adalah $\left \{ 60^{\circ}, 180^{\circ} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{3}\pi\ \text{dan}\ \pi$
78. Soal UMPTN 1995 Rayon A
Jika $0 \lt x \lt \pi$ dan $x$ memenuhi persamaan $\tan^{2} x - \tan x - 6=0$ maka himpunan nilai $\sin x$ adalah...$\begin{align} (A)\ & \left \{ \dfrac{3\sqrt{10}}{10},\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \right \} \\ (B)\ & \left \{ \dfrac{3\sqrt{10}}{10},\dfrac{-2\sqrt{5}}{5} \right \} \\ (C)\ & \left \{ \dfrac{-3\sqrt{10}}{10},\dfrac{2\sqrt{5}}{10} \right \} \\ (D)\ & \left \{ \dfrac{\sqrt{10}}{10},\dfrac{ \sqrt{5}}{5} \right \} \\ (E)\ & \left \{ \dfrac{\sqrt{10}}{10},\dfrac{2\sqrt{5}}{10} \right \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $\tan^{2} x - \tan x - 6=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \tan^{2} x - \tan x - 6 &= 0 \\ \left( \tan x-3 \right)\left( \tan x+2\right) &= 0 \\ \hline \tan x-3 &= 0 \\ \tan x &= 3\\ \hline & \text{atau} \\ \hline \tan x+2 &= 0 \\ \tan x &= -2 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ \dfrac{3\sqrt{10}}{10},\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \right \}$
79. Soal UMPTN 1995 Rayon A
Himpunan penyelesaian dari persamaan $2 \cos 3x^{\circ}=1$ untuk $0 \leq x \leq 180$, adalah...$\begin{align} (A)\ & \left \{ 0,\ 20,\ 60 \right \} \\ (B)\ & \left \{ 20,\ 60,\ 100 \right \} \\ (C)\ & \left \{ 20,\ 60,\ 100 \right \} \\ (D)\ & \left \{ 20,\ 100,\ 140 \right \} \\ (E)\ & \left \{ 100,\ 140,\ 180 \right \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $2 \cos 3x^{\circ}=1$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} 2 \cos 3x^{\circ} &= 1 \\ \cos 3x^{\circ} &= \dfrac{1}{2} \\ \cos 3x^{\circ} &= \cos 60^{\circ} \\ \hline 3x &= 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 3x &= -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} - 120^{\circ} = -100^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} + 0 = 20^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} + 120^{\circ} = 140^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} + 240^{\circ} = 260^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -20^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + 0 = -20^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -20^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + 120^{\circ} = 100^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -20^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + 240^{\circ} = 220^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0 \leq x \leq 180$ adalah $\left \{ 20,\ 100,\ 140 \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 0 \leq x \leq 180$
80. Soal UM UNJ 2012 Kode 18
Himpunan penyelesaian untuk $2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right)-1=0$ untuk $0 \leq x \leq 180^{\circ}$ adalah...$\begin{align} (A)\ & \left \{ 2^{\circ},\ 42^{\circ},\ 122^{\circ},\ 162^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 12^{\circ},\ 32^{\circ},\ 132^{\circ},\ 152^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 7^{\circ},\ 37^{\circ},\ 127^{\circ},\ 157^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 52^{\circ},\ 112^{\circ},\ 172^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 22^{\circ},\ 142^{\circ} \right \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right)-1=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} 2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right)-1 &= 0 \\ 2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right) &= 1 \\ \sin \left( 3x+24^{\circ} \right) &= \dfrac{1}{2} \\ \sin \left( 3x+24^{\circ} \right) &= \sin 30^{\circ} \\ \hline 3x+24^{\circ} &= 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 3x &= 30^{\circ}-24^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 3x+24^{\circ} &= 180^{\circ}-30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 3x &= 126^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 42^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 2^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} - 120^{\circ} = -118^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + 0 = 2^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + 120^{\circ} = 122^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + 240^{\circ} = 242^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= 42^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} - 120^{\circ} = -78^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} + 0 = 42^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} + 120^{\circ} = 162^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} + 240^{\circ} = 282^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0 \leq x \leq 180$ adalah $\left \{ 2^{\circ},\ 122^{\circ},\ 42^{\circ}, 162^{\circ} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ 2^{\circ},\ 42^{\circ},\ 122^{\circ},\ 162^{\circ} \right \}$
81. Soal UM UNJ 2012 Kode 25
Suatu segitiga memuat sudut $45^{\circ}$ dan $75^{\circ}$. Jika panjang sisi di hadapan sudut $45^{\circ}$ adalah $2\sqrt{2}\ cm$ maka luas segitiga tersebut adalah...$cm^{2}$.$\begin{align} (A)\ & 3-\sqrt{3} \\ (B)\ & 3\sqrt{3} \\ (C)\ & 3+\sqrt{3} \\ (D)\ & 2\sqrt{6} \\ (E)\ & 3\sqrt{6} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika segitiga yabg disampaikan pada soal kita misalkan adalah segitiga $ABC$, maka segitiga $ABC$ dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dapat kita hitung besar sudut $B$ yaitu $\angle B=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}$ sehingga $\angle B=60^{\circ}$.
Untuk menghitung luas segitiga $ABC$ dapat kita gunakan luas segitiga jika diketahui dua sudut satu sisi yaitu $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}ab \sin C$
Untuk dapat menggunakan aturan $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}ab \sin C$ kita perlu hitung terlebih dahulu panjang sisi $b$ dan nilai $\sin 75^{\circ}$.
- Panjang sisi $b$ dengan menggunakan atuarn sinus,
$\begin{align} \dfrac{a}{\sin A} & =\dfrac{b}{\sin B} \\ \dfrac{2\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} & =\dfrac{b}{\sin 60^{\circ}} \\ \dfrac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} & =\dfrac{b}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ 2\sqrt{3} & =b \end{align}$ - Nilai $\sin 75^{\circ}$,
$\begin{align} \sin 75^{\circ} & = \sin \left( 30^{\circ} + 45^{\circ} \right) \\ & = \sin 30^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = \dfrac{1}{4}\sqrt{2} + \dfrac{1}{4}\sqrt{6} \\ \end{align}$ - Luas segitiga $ABC$,
$\begin{align} \left[ ABC \right] & = \dfrac{1}{2} ab \sin C \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} \sin 75^{\circ} \\ & = 2\sqrt{6} \cdot \left( \dfrac{1}{4}\sqrt{2} + \dfrac{1}{4}\sqrt{6} \right) \\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{12} + \dfrac{1}{2} \sqrt{36} \\ & = \sqrt{3} + 3 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3+\sqrt{3}$